一、单选题 （共 54 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
若 $\tan (\alpha+2 \beta)=3, \tan (\alpha-\beta)=2$, 则 $\tan (\alpha+5 \beta)=$
$\text{A.}$ $\frac{11}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{11}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{11}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{11}$
一个三角形的两内角分别为 $45^{\circ}$ 和 $60^{\circ}$, 如果 $45^{\circ}$ 角所对的边长是 6 , 那么 $60^{\circ}$ 角所对的边长为
$\text{A.}$ $3 \sqrt{6}$
$\text{B.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $3 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{6}$
在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, 已知 $2 \sin A \cos B=\sin C$, 那么 $\triangle \mathrm{ABC}$ 一定是
$\text{A.}$ 直角三角形
$\text{B.}$ 等腰三角形
$\text{C.}$ 等腰直角三角形
$\text{D.}$ 正三角形
黑洞原指非常奇怪的天体, 它体积小, 密度大, 吸引力强, 任何物体到了它那里都别 想再出来, 数字中也有类似的 “黑洞”, 任意取一个数字串, 长度不限, 依次写出该数 字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数, 把这三个数从左到右写成一个新数 字串; 重复以上工作, 最后会得到一个反复出现的数字, 我们称它为 “数字黑洞”, 如 果把这个数字设为 $a$, 则 $\sin \left(\frac{a}{2} \pi+\frac{\pi}{6}\right)=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
在锐角 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, \triangle A B C$ 的面积为 $\mathrm{S}$, 若 $\sin (A+C)=\frac{2 S}{b^2-a^2}$, 则 $\tan A+\frac{1}{3 \tan (B-A)}$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $\left[\frac{2 \sqrt{3}}{3},+\infty\right)$
$\text{B.}$ $\left[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{4}{3}\right]$
$\text{C.}$ $\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{4}{3}\right)$
$\text{D.}$ $\left[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{4}{3}\right)$
函数 $f(x)=\tan \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象的一个对称中心为
$\text{A.}$ $\left(\frac{\pi}{12}, 0\right)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{7 \pi}{12}, 0\right)$
$\text{C.}$ $\left(-\frac{5 \pi}{12}, 0\right)$
$\text{D.}$ $\left(-\frac{\pi}{12}, 0\right)$
已知函数 $f(x)=\cos ^2 \frac{\omega x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \omega x-\frac{1}{2}(\omega>0), x \in R$, 若 $f(x)$ 在区间 $(\pi, 2 \pi)$ 内没有零点, 则 $\omega$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{5}{12}\right]$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{5}{12}\right] \cup\left[\frac{5}{6}, \frac{11}{12}\right)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{5}{6}\right]$
$\text{D.}$ $\left(0, \frac{5}{12}\right] \cup\left[\frac{5}{6}, \frac{11}{12}\right]$
9. 冬残奥会闭幕式上, 中国式浪漫再现, 天干地支时辰钟表盘再现, 由定音鼓构成的“表盘” 形象上, 60 名残健共融表演者用行为模拟“指针”每圈 60 个时间刻度的行进轨 迹.若以图中 12 点与圆心连线为始边, 某时刻指向第 $1,21,41$ 名残健共融表演 者的“指针”为终边的角分别记为 $\alpha, \beta, \gamma$, 则 $\cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma$ 的值为
$\text{A.}$ $-1$
$\text{B.}$ $0$
$\text{C.}$ $1$
$\text{D.}$ $\cos \alpha$
已知函数 $f(x)=2 \sin (\omega x+\varphi)$ 的部分图象如图, 则下列判断正确的是
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 的周期为 $4 \pi$
$\text{B.}$ 对任意的 $x \in \mathrm{R}$, 都有 $f(x) \leq f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)$
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 在区间 $[0,5 \pi]$ 上恰好有三个零点
$\text{D.}$ 函数 $f\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 是偶函数
我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中, 提出了已知三角形三边长求三角形面 积的公式, 可以看出我国古代已具有很高的数学水平. 设 $a, b, c$ 分别为 $\triangle A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边, $S$ 表示 $\triangle A B C$ 的面积,其公式为 $S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[a^2 b^2-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)^2\right]}$. 若 $b=\sqrt{2}, \frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}$ $=\frac{c}{2 \sin A}$, 则 $\triangle A B C$ 面积 $S$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $1$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$
已知函数 $f(x)$ 的局部图象如图所示, 下列函数 $f(x)$ 的解析式与图 象符合的可能是
$\text{A.}$ $f(x)=\frac{4}{5} x^2$
$\text{B.}$ $f(x)=x^4$
$\text{C.}$ $f(x)=x \sin x$
$\text{D.}$ $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$
已知 $a=\sin 0.1, b=\ln 1.1, c=e^{0.1}-1$, 则
$\text{A.}$ $c < b < a$
$\text{B.}$ $a < b < c$
$\text{C.}$ $c < a < b$
$\text{D.}$ $b < a < c$
在 $\triangle A B C$ 中, $\angle C A B=60^{\circ}, A B=2, A C=1, D$ 为边 $B C$ 上一点, 且 $C D=2 B D$, 则 $|\overrightarrow{A D}|=$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{21}}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{7}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{5}}{3}$
已知函数 $f(x)=a \cos 2 x+\sqrt{3} a \sin 2 x-2 a+b$ 在 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的图象如 右图所示, 则 $a, b$ 的值分别为
$\text{A.}$ $a=2, b=1$
$\text{B.}$ $a=2, b=3$
$\text{C.}$ $a=-2, b=-5$
$\text{D.}$ $a=-\frac{3}{2}, b=-2$
若 $\tan \theta=2$, 则 $\frac{\sin \theta \cos 2 \theta}{\cos \theta-\sin \theta}=$
$\text{A.}$ $\frac{6}{5}$
$\text{B.}$ $-\frac{6}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{5}$
$\text{D.}$ $-\frac{2}{5}$
已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$, 且 $f(x)$ 为偶函数, $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=-2$, $3 f(x) \cos x+f^{\prime}(x) \sin x>0$, 则不等式 $f\left(x+\frac{\pi}{2}\right) \cos ^3 x-\frac{1}{4}>0$ 的解集为
$\text{A.}$ $\left(-\frac{\pi}{3},+\infty\right)$
$\text{B.}$ $\left(-\frac{2 \pi}{3},+\infty\right)$
$\text{C.}$ $\left(-\frac{2 \pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{\pi}{3},+\infty\right)$
如图是某个函数 $y=f(x)$的图象的一部分, 则该函数可能是
$\text{A.}$ $y=\left(x^3-x\right) \cdot \sin x$
$\text{B.}$ $y=\left(x^2-1\right) \cdot \tan x$
$\text{C.}$ $y=\frac{\tan x}{2^x-2^{-x}}$
$\text{D.}$ $y=\frac{x^3-x}{\cos x}$
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 若 $\frac{1}{\tan B}+\frac{1}{\tan C}=\frac{3}{b c \cdot \sin A}$, 且 $\sin (C-B)=\frac{1}{2} \sin A$, 则 $c^2-b^2=(\quad)$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\frac{5}{2}$
若角 $\alpha$ 的终边经过点 $P\left(\sin 830^{\circ}, \cos 430^{\circ}\right)$, 且 $\tan \alpha+\tan 2 \alpha+m \tan \alpha \cdot \tan 2 \alpha=\sqrt{3}$, 则实数 $m$ 的值为
$\text{A.}$ $-\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$
若 $f(x)=|\sin x+\sqrt{3} \cos x|+|\sqrt{3} \sin x-\cos x|$, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $f(x)$ 的最小正周期是 $\pi$
$\text{B.}$ $f(x)$ 的对称轴方程为 $x=\frac{k \pi}{4}-\frac{\pi}{12}(k \in \mathbf{Z})$
$\text{C.}$ 存在实数 $a$, 使得对任意的 $x \in \mathbf{R}$, 都存在 $x_1 、 x_2 \in\left[-\frac{5 \pi}{12}, 0\right]$ 且 $x_1 \neq x_2$, 满足 $[f(x)]^2-$ $a f(x) f\left(x_k\right)+1=0(k=1,2)$
$\text{D.}$ 若函数 $g(x)=2 f(x)+b, x \in\left[0, \frac{25 \pi}{12}\right]$ ( $b$ 是实常数), 有奇数个零点 $x_1, x_2, \cdots, x_{2 n}$, $x_{2 n+1}(n \in \mathrm{N})$, 则 $x_1+2\left(x_2+x_3+\cdots+x_{2 n}\right)+x_{2 n+1}=\frac{25 \pi}{3}$
已知 $\tan \theta < 0 ， \cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\frac{\sqrt{5}}{5}$, 求 $\cos \theta$ 的值为
$\text{A.}$ $-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
$\text{B.}$ $-\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
函数 $f(x)=a-\sqrt{3} \tan 2 x$ 在闭区间 $\left[-\frac{\pi}{6}, b\right]$ 上的最大值为7,最小值为 3 , 则 $a \times b$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{5 \pi}{12}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{4}$
已知 $a$ 为第三象限角, 且 $\cos 2 a=\frac{1}{3}$, 则 $\cos a=$
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\text{B.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $a: b: c=2$ :1 $3: 4$, 则 $\triangle A B C$ 的面积为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{15}}{12} a^2$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{15}}{12} b^2$
$\text{C.}$ $\frac{a^2}{12}$
$\text{D.}$ $\frac{b^2}{12}$
对任意实数 $x$, 定义 $[x]$ 为不大于 $x$ 的最大整数, 如 $[0,2]=0,\left[\begin{array}{ll}1 & 5\end{array}\right]$ $=1,[2]=2$. 已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=[\mathrm{x}] \cdot \sin \pi x$, 则方程| $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \mid=3$ $-\frac{x}{50}$ 在 $(0,+\infty)$ 上的实根个数为
$\text{A.}$ 290
$\text{B.}$ 292
$\text{C.}$ 294
$\text{D.}$ 296
已知 $\sin (\alpha-\beta)=\frac{3}{5}, \sin \beta=\frac{1}{3}, \beta$ 与 $\alpha-\beta$ 均为钝角, 则 $\sin \alpha=$
$\text{A.}$ $\frac{8 \sqrt{2}+3}{15}$
$\text{B.}$ $\frac{6 \sqrt{2}+4}{15}$
$\text{C.}$ $\frac{8 \sqrt{2}-3}{15}$
$\text{D.}$ $-\frac{6 \sqrt{2}+4}{15}$
函数 $f(x)=\left|\tan \left(2 x-\frac{2 \pi}{3}\right)\right|$ 图象的对称轴方程为
$\text{A.}$ $x=\frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$
$\text{B.}$ $x=\frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{4}(k \in \mathbf{Z})$
$\text{C.}$ $x=\frac{\pi}{3}+\frac{k \pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$
$\text{D.}$ $x=\frac{\pi}{3}+\frac{k \pi}{4}(k \in \mathbf{Z})$
设 $a=\sin 7$, 则
$\text{A.}$ $a^2 < 2^a < \log _2|a|$
$\text{B.}$ $\log _2|a| < 2^a < a^2$
$\text{C.}$ $a^2 < \log _2|a| < 2^a$
$\text{D.}$ $\log _2|a| < a^2 < 2^a$
将函数 $f(x)=A \cos (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0,-\pi < \varphi < 0)$ 的图象上所有点 向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度, 得到如图所示的函数 $y=g(x)$ 的图象, 则 $f(0)+f\left(\frac{\pi}{3}\right)=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -1
已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 上恰好取到一次最大值与一次最小值, 则 $\omega$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(4,7]$
$\text{B.}$ $[4.7)$
$\text{C.}$ $(7.10]$
$\text{D.}$ $[7,10)$
.已知 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)-\cos \alpha=\frac{1}{2}$, 则 $\sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{6}\right)=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $-\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{4}$
已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$, 记 $g(x)=f(1+x)-x$, 若 $f^{\prime}(x)$ 为奇 函数, $g(x)$ 为偶函数, 则 $f^{\prime}(2023)=$
$\text{A.}$ 2021
$\text{B.}$ 2022
$\text{C.}$ 2023
$\text{D.}$ 2024
将函数 $f(x)=\sin (2 x+\varphi)\left(|\varphi| < \frac{\pi}{2}\right)$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位得到函数 $g(x)$ 的图像, 若 $g(x)$ 的图像与 $f(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称, 则下列说法正确的有
$\text{A.}$ $\varphi=\frac{\pi}{4}$
$\text{B.}$ $\varphi=-\frac{\pi}{1}$
$\text{C.}$ $g(x)$ 的对称轴过 $f(x)$ 的对称中心
$\text{D.}$ $\forall m \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{8}\right], \exists n \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{8}\right]$,使得 $f(m)=g(n)$
已知 $\frac{-\cos \alpha+2 \sin \alpha}{\cos \alpha-\sin \alpha}=-3$, 则 $\sin 2 a=$
$\text{A.}$ $\frac{4}{5}$
$\text{B.}$ $-\frac{4}{5}$
$\text{C.}$ $ 1$
$\text{D.}$ $\frac{3}{5}$
函数 $f(x)=\left(\frac{2^x-1}{2^x+1}\right) \sin x$ 在 $\left[-\frac{3 \pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 上的图象的大致形状是
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
某建筑物如图所示, 底部为 $\mathrm{A}$, 顶部为 $B$, 点 $C, D$ 与点 $\mathrm{A}$ 在同一水平线上, 且 $|C D|=l$, 用高为 $h$ 的测角工具在 $C, D$ 位置测得建筑物顶部 $B$ 在 $C_1$ 和 $D_1$处的仰角分别为 $\alpha, \beta$. 其中 $C_1, D_1$ 和 $\mathrm{A}_1$ 在同一条水平线上, $A_1$ 在 $A B$ 上, 则该建筑物的高 $A B=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{l \sin \alpha \cos \beta}{\sin (\beta-\alpha)}+h$
$\text{B.}$ $\frac{l \cos \alpha \cos \beta}{\sin (\beta-\alpha)}+h$
$\text{C.}$ $\frac{l \cos \alpha \sin \beta}{\sin (\beta-\alpha)}+h$
$\text{D.}$ $\frac{l \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\beta-\alpha)}+h$
对于函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin x, \sin x \geq \cos x \\ \cos x, \sin x < \cos x\end{array}\right.$, 给出下列四个命题:
(1) 该函数的值域是 $[-1,1]$;
(2) 当且仅当 $x=2 k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in Z)$ 时, 该函数取得最大值 1 ;
(3)该函数的最小正周期为 $2 \pi$;
(4) 当且仅当 $2 k \pi+\pi < x < 2 k \pi+\frac{3 \pi}{2}(k \in \mathrm{Z})$ 时, $f(x) < 0$; 其中所有正确命题个数有
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
日光射人海水后, 一部分被海水吸收 (变为热能), 同时, 另一部分被海水中的有机物和无机 物有选择性地吸收与散射. 因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱, 可用 $I_D=I_0 \mathrm{e}^{-K D}$ 表示其总衰减规律, 其中 $K$ 是平均消光系数 (也称衰减系数), $D$ (单位: 米) 是海水深度, $I_D$ (单位:坎德拉) 和 $I_0$ (单位: 坎德拉) 分别表示在深度 $D$ 处和海面的光强. 已知某海区 10 米 深处的光强是海面光强的 $30 \%$, 则该海区消光系数 $K$ 的值约为 (参考数据: $\ln 2 \approx 0.7$, $\ln 3 \approx 1.1, \ln 5 \approx 1.6$ )
$\text{A.}$ $0.12$
$\text{B.}$ $0.11$
$\text{C.}$ $0.07$
$\text{D.}$ $0.01$
在 $\triangle A B C$ 中, $A B=2, B C=2 \sqrt{3}, \angle B A C=120^{\circ}, P$ 为平面 $A B C$ 内一点, 则 $(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}) \cdot(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P C})$ 的 最小值是
$\text{A.}$ $-1$
$\text{B.}$ $-2$
$\text{C.}$ $-3$
$\text{D.}$ $-4$
已知函数 $f(x)=2 \sin (\omega x+\varphi)\left(\omega \in \mathbf{N}^*, 0 < \varphi < \frac{\pi}{2}\right)$ 的部分图象如图所示, 且函数 $f(x)$ 在 $x=\frac{7 \pi}{12}$ 处取得最小值, 则函数 $f\left(\frac{x}{2}\right)$ 在 $[0, \pi]$ 上的单调递减区间为
$\text{A.}$ $\left[0, \frac{\pi}{6}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$
$\text{C.}$ $\left[0, \frac{\pi}{12}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{\pi}{6}, \pi\right]$