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试卷12

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x, y) = 1 + \frac{x y}{\sqrt{1 + y^{3}}}

, 则积分

I = \int_{0}^{1} d x \int_{x^{2}}^{1} f (x, y) d y =

A.

\frac{1}{3} (\sqrt{2} + 1)

B.

\frac{1}{6} (\sqrt{2} - 1)

C.

\frac{1}{6} (\sqrt{2} + 1)

D.

\frac{1}{3} (\sqrt{2} - 1)

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2. 设二重积分

I_{1} = \iint_{D} \frac{x + y - 1}{4} d x d y, I_{2} = \iint_{D} {(\frac{x + y - 1}{4})}^{2} d x d y, I_{3} = \iint_{D} {(\frac{x + y - 1}{4})}^{3} d x d y

, 其中

D = {(x, y) ∣ (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} ⩽ 2}

, 则

I_{1}, I_{2}, I_{3}

的大小关系为

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

C.

I_{3} < I_{1} < I_{2}

D.

I_{2} < I_{3} < I_{1}

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3. 设曲面

Σ

是上半球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2} (z \geq 0)

, 曲面

Σ_{1}

是

Σ

在第一卦限中的部分, 则有

A.

\iint_{Σ} x d S = 4 \iint_{Σ_{1}} x d S

B.

\iint_{Σ} y d S = 4 \iint_{Σ_{1}} y d S

C.

\iint_{Σ} z d S = 4 \iint_{Σ_{1}} z d S

D.

\iint_{Σ} x y z d S = 4 \iint_{Σ_{1}} x y z d S

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4. 设

Σ

为球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}

的下半球面的下侧, 将曲面积分

\iint_{Σ} x^{2} y^{2} z d x d y

化为二重积分为

A.

- \iint_{D_{x y}} x^{2} y^{2} (- \sqrt{R^{2} - x^{2} - y^{2}}) d x d y, D_{x y} : x^{2} + y^{2} \leq R^{2}

B.

- \iint_{D_{x y}} x^{2} y^{2} \sqrt{R^{2} - x^{2} - y^{2}} d x d y

D_{x y} : x^{2} + y^{2} \leq R^{2}

C.

\iint_{D_{x y}} x^{2} y^{2} (R^{2} - x^{2} - y^{2}) d x d y

D_{x y} : x^{2} + y^{2} \leq R^{2}

D.

- \iint_{D_{x y}} x^{2} y^{2} (R^{2} - x^{2} - y^{2}) d x d y

D_{x y} : x^{2} + y^{2} \leq R^{2}

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5. 设

f (x, y) = x^{2} + 2 y + y^{2} + x - y + 1

, 则下面结论正确的是

A.

点

(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})

是

f (x, y)

的驻点且为极大值点

B.

点

(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})

是极小值点

C.

点

(0, 0)

是

f (x, y)

的驻点但不是极值点

D.

点

(0, 0)

是

f (x, y)

极大值点

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二、填空题（共 9 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 设

y = y (x)

由

{\begin{cases} x = 3 t^{2} + 2 t + 3, \\ y = e^{y} \sin t + 1 \end{cases}

所确定, 则曲线

y = y (x)

在

t = 0

对应的点处的曲率

k =

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7. 设

f (x) = \int_{- x}^{x} \frac{\sin x t}{t} d t, x \neq 0

, 则

\int x^{2} f^{'} (x) d x =

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8. 设

Σ

为

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 (z ⩾ 0), l, m, n

为

Σ

上任一点处的外法线的方向余弦, 则

I = \iint_{Σ} z (l x + m y + n z) d S =

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f (x, y) = e^{2 x} (x + 2 y + y^{2})

的极值为

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10. 设区域

D = {(x, y) ∣ 1 ⩽ x^{2} + y^{2} ⩽ 4, x ⩾ 0, y ⩾ 0}

, 则二重积分

I = \iint \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x + y} d x d y =

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11. 已知

f (x) = {\begin{array}{rr} e^{x}, & x \geq 0, \\ 1 + x^{2}, & x < 0, \end{array}

则

\int_{- 1}^{1} f (x) d x =

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12. 设二元函数

z = z (x, y)

的全微分为

d z = (2 x y^{3} + a e^{y} \sin x) d x + (3 x^{2} y^{2} + e^{y} \cos x) d y,

其中

a

为常数, 则

z (x, y)

在点

(\frac{π}{4}, 0)

处沿各个方向的方向导数的最大值为

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13. 幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2^{n} \cdot n} x^{n}

的收敛半径为

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14. 1.(1)

lim_{m \to \infty} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} \frac{n}{(m + i) (n^{2} + j^{2})} = \underset{―}{}

.
(2)

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{i}{n^{3}} \sin^{2} \frac{2 π j}{n} = \underset{―}{}

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三、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15. 设

D = {(x, y) | | x | + | y ∣⩽ 1}, L

为

D

的边界, 取逆时针方向, 若

f (t)

连续,

g (t)

有一阶连续导数, 计算积分

I = \oint_{L} [f (x^{2} + y^{2}) + g (x + y)] (x d x + y d y) .

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16. 从点

(0, - 1)

引两条直线与抛物线

y = x^{2}

相切.
(1) 求由这两条直线与抛物线

y = x^{2}

所围成的平面图形绕

y

轴旋转一周所得到的旋转体的表面积:
（2）求上述旋转体的体积

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17. 设

u = f (r), r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

, 其中函数

f

二阶可微, 且

lim_{x \to 1} \frac{f (x) - 1}{x - 1} = 1

, 若函数

u = f (r)

满足

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} = 0

, 试求

f (r)

的表达式.

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18. 设区域

D : 0 ⩽ x ⩽ 2, | y | ⩽ x

, 函数

f (x, y) = max_{- 1 ⩽⩽⩽ 3} (t^{2} - 2 x t + y^{3})

, 计算二重积分

\iint_{D} f (x, y) d x d y

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19. 计算

\iint_{Σ} (x^{2} + y^{2}) d S

, 其中

Σ : z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} (0 \leq z \leq 4)

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20. 求二重积分

\iint_{D} \frac{d σ}{\sqrt{x + y + 4}}

, 其中

D = {(x, y) : | x | + | y | \leq 1} .

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21. 计算三重积分

∭_{Ω} z d v

, 其中

Ω

为曲面

z = \sqrt{2 - x^{2} - y^{2}}

及

z = x^{2} + y^{2}

所围成的闭区域。

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22. 计算曲线积分

\int_{L} (e^{x} \sin y - 8 y) d x + (e^{x} \cos y - 8) d y

, 其中 L 是由点

A (a, 0)

到点 O

(0, 0)

的上半圆周

x^{2} + y^{2} = a x (y \geq 0, a > 0)

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23. 计算

\iint (x + y + z) d S

, 其中曲而

Σ

为球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}

上

z \geq h (0 < h < a)

的部分

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