一、单选题 （共 5 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设函数 $f(x, y)=1+\frac{x y}{\sqrt{1+y^3}}$, 则积分 $I=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{x^2}^1 f(x, y) \mathrm{d} y=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}(\sqrt{2}+1)$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}(\sqrt{2}-1)$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}(\sqrt{2}+1)$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)$.
设二重积分 $I_1=\iint_D \frac{x+y-1}{4} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_D\left(\frac{x+y-1}{4}\right)^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_3=\iint_D\left(\frac{x+y-1}{4}\right)^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其 中 $D=\left\{(x, y) \mid(x-2)^2+(y-1)^2 \leqslant 2\right\}$, 则 $I_1, I_2, I_3$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$.
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$.
$\text{C.}$ $I_3 < I_1 < I_2$.
$\text{D.}$ $I_2 < I_3 < I_1$.
设曲面 $\Sigma$ 是上半球面 $x^2+y^2+z^2=R^2(z \geq 0)$, 曲面 $\Sigma_1$ 是 $\Sigma$ 在第一卦限中的部分, 则有
$\text{A.}$ $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} S=4 \iint_{\Sigma_1} x \mathrm{~d} S$
$\text{B.}$ $\iint_{\Sigma} y \mathrm{~d} S=4 \iint_{\Sigma_1} y \mathrm{~d} S$
$\text{C.}$ $\iint_{\Sigma} z \mathrm{~d} S=4 \iint_{\Sigma_1} z \mathrm{~d} S$
$\text{D.}$ $\iint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} S=4 \iint_{\Sigma_1} x y z \mathrm{~d} S$
设 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 的下半球面的下侧, 将曲面 积分 $\iint_{\Sigma} x^2 y^2 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 化为二重积分为
$\text{A.}$ $-\iint_{D_{x y}} x^2 y^2\left(-\sqrt{R^2-x^2-y^2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, \quad D_{x y}: x^2+y^2 \leq R^2$
$\text{B.}$ $-\iint_{D_{x y}} x^2 y^2 \sqrt{R^2-x^2-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, $D_{x y}: x^2+y^2 \leq R^2$
$\text{C.}$ $\iint_{D_{x y}} x^2 y^2\left(R^2-x^2-y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, $D_{x y}: x^2+y^2 \leq R^2$
$\text{D.}$ $-\iint_{D_{x y}} x^2 y^2\left(R^2-x^2-y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, $D_{x y}: x^2+y^2 \leq R^2$
设 $f(x, y)=x^2+2 y+y^2+x-y+1$, 则下面结论正确的是
$\text{A.}$ 点 $\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点且为极大值点
$\text{B.}$ 点 $\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 是极小值点
$\text{C.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点但不是极值点
$\text{D.}$ 点 $(0,0)$ 是$f(x, y)$ 极大值点
二、填空题 （共 9 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=3 t^2+2 t+3, \\ y=\mathrm{e}^y \sin t+1\end{array}\right.$ 所确定, 则曲线 $y=y(x)$ 在 $t=0$ 对应的点 处的曲率 $k=$
设 $f(x)=\int_{-x}^x \frac{\sin x t}{t} \mathrm{~d} t, x \neq 0$, 则 $\int x^2 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
设 $\Sigma$ 为 $x^2+y^2+z^2=1(z \geqslant 0), l, m, n$ 为 $\Sigma$ 上任一点处的外法线的方向余弦, 则 $I=\iint_{\Sigma} z(l x+m y+n z) \mathrm{d} S=$
$f(x, y)=\mathrm{e}^{2 x}\left(x+2 y+y^2\right)$ 的极值为
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^2+y^2 \leqslant 4, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$, 则二重积分 $I=\iint \frac{x \sqrt{x^2+y^2}}{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{rr}e^x, & x \geq 0, \\ 1+x^2, & x < 0,\end{array}\right.$ 则 $\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x=$
设二元函数 $z=z(x, y)$ 的全微分为
$$
\mathrm{d} z=\left(2 x y^3+a \mathrm{e}^y \sin x\right) \mathrm{d} x+\left(3 x^2 y^2+\mathrm{e}^y \cos x\right) \mathrm{d} y,
$$
其中 $a$ 为常数, 则 $z(x, y)$ 在点 $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$ 处沿各个方向的方向导数的最大值为
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n \cdot n} x^n$ 的收敛半径为
1.(1) $\lim \limits _{m \rightarrow \infty } \sum \limits _{i=1}^{m} \sum \limits _{j=1}^{n} \dfrac {n}{(m+i)(n^{2}+j^{2})}= \underline { \quad \quad \quad }$.
(2) $\lim \limits _{n \rightarrow \infty } \sum \limits _{i=1}^{n} \sum \limits _{j=1}^{n} \dfrac {i}{n^{3}} \sin ^{2} \dfrac {2 \pi j}{n}= \underline { \quad \quad \quad }$.
三、解答题 （ 共 9 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $D=\{(x, y)|| x|+| y \mid \leqslant 1\}, L$ 为 $D$ 的边界, 取逆时针方向, 若 $f(t)$ 连续, $g(t)$ 有一阶连续导数, 计算积分
$$
I=\oint_L\left[f\left(x^2+y^2\right)+g(x+y)\right](x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y) .
$$
从点 $(0,-1)$ 引两条直线与抛物线 $y=x^2$ 相切.
(1) 求由这两条直线与抛物线 $y=x^2$ 所围成的平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积:
（2）求上述旋转体的体积
设 $u=f(r), r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, 其中函数 $f$ 二阶可微, 且 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{x-1}=1$, 若函数 $u=f(r)$ 满足 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0$, 试求 $f(r)$ 的表达式.
设区域 $D: 0 \leqslant x \leqslant 2,|y| \leqslant x$, 函数 $f(x, y)=\max _{-1 \leqslant \leqslant \leqslant 3}\left(t^2-2 x t+y^3\right)$, 计算二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
计算 $\iint_{\Sigma}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} S$, 其中 $\Sigma: z=\sqrt{x^2+y^2}(0 \leq z \leq 4)$.
求二重积分 $\iint_D \frac{\mathrm{d} \sigma}{\sqrt{x+y+4}}$, 其中
$$
D=\{(x, y):|x|+|y| \leq 1\} .
$$
计算三重积分 $\iiint_{\Omega} z d v$, 其中 $\Omega$ 为曲面 $z=\sqrt{2-x^2-y^2}$ 及 $z=x^2+y^2$ 所围成的闭 区域。
计算曲线积分 $\int_L\left(e^x \sin y-8 y\right) d x+\left(e^x \cos y-8\right) d y$, 其中 L 是由点 $\mathrm{A}(a, 0)$ 到点 O $(0,0)$ 的上半圆周 $x^2+y^2=a x \quad(y \geq 0, a>0)$
计算 $\iint(x+y+z) d S$, 其中曲而 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 上 $z \geq \boldsymbol{h}(0 < \boldsymbol{h} < \boldsymbol{a})$ 的部分