2022高等数学(微积分)下册摸底测试与答案-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

计算 $\iint(x+y+z) d S$, 其中曲而 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 上 $z \geq \boldsymbol{h}(0 < \boldsymbol{h} < \boldsymbol{a})$ 的部分

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我来讲解

答案：

解：曲面 $\Sigma$ 的方程为 $z=\sqrt{a-x^2-y^2}$, 其在 $x o y$ 坐标面上的投影区域 $\boldsymbol{D}$ 为: $x^2+y^2 \leq a^2-h^2$
$$
\begin{aligned}
& \sqrt{1+\left(z_x\right)^2+\left(z_y\right)^2}=\frac{a}{\sqrt{a-x^2-y^2}}, \\
& \iint(x+y+z) d S=\iint_0\left(x+y+\sqrt{a-x^2-y^2}\right) \frac{a}{\sqrt{a-x^2-y^2}} d \sigma \\
& =\iint_b \frac{a(x+y)}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} d \sigma+\iint_b a d \sigma
\end{aligned}
$$
由积分区域和被积函数的对称性得 $\iint_0 \frac{a(x+y)}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} d \sigma=0$, 且 $\iint_0 a \mathrm{~d} \sigma=a \pi\left(a^2-h^2\right)$
所以 $\iint(x+y+z) d S=\boldsymbol{a} \pi\left(a^2-h^2\right)$ 。

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