设二重积分 $I_1=\iint_D \frac{x+y-1}{4} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_D\left(\frac{x+y-1}{4}\right)^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_3=\iint_D\left(\frac{x+y-1}{4}\right)^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其 中 $D=\left\{(x, y) \mid(x-2)^2+(y-1)^2 \leqslant 2\right\}$, 则 $I_1, I_2, I_3$ 的大小关系为
$ \text{A.} $ $I_1 < I_2 < I_3$. $ \text{B.} $ $I_3 < I_2 < I_1$. $ \text{C.} $ $I_3 < I_1 < I_2$. $ \text{D.} $ $I_2 < I_3 < I_1$.
【答案】 B

【解析】 圆域 $D$ 的圆心 $(2,1)$ 到直线 $x+y=1, x+y=5$ 的距离分别为
$$
d_1=\frac{|2+1-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}, d_2=\frac{|2+1-5|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},
$$
可知 $D$ 的边界圆线 $(x-2)^2+(y-1)^2=2$ 与直线 $x+y=1, x+y=5$ 均相切,
由于圆心 (2,1) 位于直线 $x+y=1$ 上方, $x+y=5$ 下方, 可知圆域 $D$ 位于直线 $x+y=1$ 和 $x+y=5$ 之间, 从而在 $D$ 上有 $1 \leqslant x+y \leqslant 5$, 即 $0 \leqslant \frac{x+y-1}{4} \leqslant 1$,
则有 $\frac{x+y-1}{4} \geqslant\left(\frac{x+y-1}{4}\right)^2 \geqslant\left(\frac{x+y-1}{4}\right)^3$, 由于三个被积函数都连续且不恒等,
所以, $\iint_D \frac{x+y-1}{4} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y > \iint_D\left(\frac{x+y-1}{4}\right)^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y > \iint_D\left(\frac{x+y-1}{4}\right)^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 即 $I_1 > I_2 > I_3$. 故应选 (B).
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