【20654】 【 唐绍东笔记《重积分计算面积体积与质心》】 解答题 曲线 $y=x^2, x$ 轴与 $x=1$ 围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周产生的旋转体的形心 $x$ 坐标等于

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【20653】 【 唐绍东笔记《重积分计算面积体积与质心》】 解答题 计算 $\iint_D(x+y) d x d y$, 其中 $D: x^2+y^2 \leqslant x+y+1$

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【20652】 【 唐绍东笔记《重积分计算面积体积与质心》】 解答题 计算由两个圆柱面 $x^2+y^2=a^2$ 与 $x^2+z^2=a^2$ 所围成的空间立体的体积 $V$

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【20651】 【 唐绍东笔记《重积分计算面积体积与质心》】 解答题 计算球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 包含在球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(b \leqslant a)$ 内那部分的面积

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【20650】 【 唐绍东笔记《重积分计算面积体积与质心》】 解答题 求圆锥 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 在圆柱体 $x^2+y^2 \leqslant x$ 内那一部分的面积.

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【20649】 【 丁勇老师考研数学模拟试卷2023版（数学二）第一套】 解答题 三阶矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 与 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 10\end{array}\right)$ 满足 $A B=O$. 已知 $a_{22}=-3$, 且 $(1,3,2)^T$ 为矩阵 $A$ 的特征向量. (I) 求矩阵 $A$ 的全部特征值和特征向量; (II) 求矩阵 $A$ 以及 $(E+A)^{2020}$; (III) 已知 $\beta=(2,6,4)^T$, 求线性方程组 $A x=\beta$ 的通解.

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【20648】 【 丁勇老师考研数学模拟试卷2023版（数学二）第一套】 解答题 若 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的单调增加的连续函数, 证明: $$ \frac{\int_0^1 x f^3(x) d x}{\int_0^1 x f^2(x) d x} \geq \frac{\int_0^1 f^3(x) d x}{\int_0^1 f^2(x) d x} . $$

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【20647】 【 丁勇老师考研数学模拟试卷2023版（数学二）第一套】 解答题 已知 $p_1, p_2, q$ 为正常数, $\alpha \in(0,1)$, 求二元函数 $f(x, y)=p_1 x+p_2 y$ 在约束条件 $x^\alpha y^{1-\alpha}=q$ 下的条件极值.

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【20646】 【 丁勇老师考研数学模拟试卷2023版（数学二）第一套】 解答题 设 $D=\left\{(x, y) \mid\left(x^2+y^2\right)^2 \leq 2 x y, x \geq 0, y \geq 0\right\}$, 计算 $I=\iint_D\left(x^2-y^2+x y\right) d x d y$.

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【20645】 【 丁勇老师考研数学模拟试卷2023版（数学二）第一套】 解答题 设方程 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}-y \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}-\frac{1}{2} \frac{\partial z}{\partial y}=0$ 在变换 $\left\{\begin{array}{l}u=x+a \sqrt{y}, \\ v=x+2 \sqrt{y}\end{array}\right.$ 下化为 $\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}=0$, 求常数 $a$.

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