一、单选题 （共 4 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设积分 $I=\int_0^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^a\right) \ln \left(1+x^b\right)} \mathrm{d} x$, 其中 $a>0, b>0$, 若该积分收玫, 则必有
$\text{A.}$ $0 < a < 1,0 < b < 1$
$\text{B.}$ $0 < a < 1, b>1$
$\text{C.}$ $a>1,0 < b < 1$
$\text{D.}$ $a>1, b>1$
设 $I_1=\iint_D(x+y) \operatorname{sgn}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_D(x-y) \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中符号函数 $\operatorname{sgn} x= \begin{cases}1, & x>0, \\ 0, & x=0, \\ -1, & x < 0,\end{cases}$
$\text{A.}$ $I_1>I_2$
$\text{B.}$ $I_1 < I_2$
$\text{C.}$ $I_1=I_2$
$\text{D.}$ $I_1=-I_2$
设函数 $f(x)$ 连续, 则下列结论不成立的是
$\text{A.}$ $\int_0^\pi f(\sin x) \mathrm{d} x=2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_0^\pi x f(\sin x) \mathrm{d} x=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x=\int_0^1[f(x)+f(-x)] \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_{-1}^1 x f(x) \mathrm{d} x=\int_0^1 x[f(x)+f(-x)] \mathrm{d} x$
设 $L: x^2+y^2=R^2(R>0)$, 则曲线积分 $\int_L\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} s=$
$\text{A.}$ $\pi R^2$;
$\text{B.}$ $\pi R^3$;
$\text{C.}$ $2 \pi R^2$;
$\text{D.}$ $2 \pi R^3$.
二、填空题 （共 17 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
计算积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \frac{2 n+1}{2} x}{\sin \frac{x}{2}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $n$ 为正整数.
定积分 $I=\int_0^\pi \cos \left(\sin ^2 x\right) \cos x \mathrm{~d} x=$
定积分 $I=\int_0^\pi \cos \left(\sin ^2 x\right) \cos x \mathrm{~d} x=$
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导, 且 $f(0)=0$, 其反函数为 $g(x)$, 满足
$$
\int_0^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=(x-1) \mathrm{e}^x+x^2+1,
$$
则 $f(x)$ 的表达式为 $f(x)=$
定积分 $I=\int_0^\pi \cos \left(\sin ^2 x\right) \cos x \mathrm{~d} x=$
(1) $\int xe^{-x^{2}}dx= \underline { \quad \quad \quad }$.
(2) $\int \dfrac {x}{1+x^{4}}dx= \underline { \quad \quad \quad }$.
(3) $\int \dfrac {2x+1}{ \sqrt {x^{2}+x}}dx= \underline { \quad \quad \quad }$.
(4) $\int x \sqrt {x^{2}+4}dx= \underline { \quad \quad \quad }$.
(1) $\int \dfrac {1}{x^{2}} \tan ^{2} \dfrac {1}{x}dx= \underline { \quad \quad \quad }$.
(2)$ \int (1- \dfrac {1}{x^{2}})e^{x+ \frac {1}{x}}dx= \underline { \quad \quad \quad }$.
(1)$ \int \dfrac { \sin \sqrt {x}}{ \sqrt {x}}dx= \underline { \quad \quad \quad }$.
(2) $\int \frac {dx}{ \sqrt {x}(1+x)}=\underline { \quad \quad \quad }$.
(3) $\int \frac {dx}{ \sqrt {x-x^{2}}}=\underline { \quad \quad \quad }$.
(4) $\int \frac {dx}{ \sqrt {x}(2+ \sqrt {x})}=\underline { \quad \quad \quad }$.
(1)$ \int \dfrac {dx}{x \ln ^{2}x}= \underline { \quad \quad \quad }$.
(2) $\int \dfrac {( \ln \ln x)^{2}dx}{x \ln x}= \underline { \quad \quad \quad }$.
(3) $\int \dfrac {1+ \ln x}{(x \ln x)^{2}}dx= \underline { \quad \quad \quad }$.
(1) $\int e^{x+e^{x}}dx= \underline { \quad \quad \quad }$.
(2)$ \int \dfrac {e^{x}dx}{2+e^{2x}}=\underline { \quad \quad \quad }$.
(3) $\int \dfrac {e^{x}}{ \sqrt {e^{x}-1}}dx=\underline { \quad \quad \quad }$.
(1) $\int \dfrac {1+x}{1+x^{2}}dx= \underline { \quad \quad \quad }$.
(2) $\int \dfrac {x}{(2x+3)^{2}}dx= \underline { \quad \quad \quad }$.
(3) $\int \dfrac {dx}{x^{2}+2x+5}= \underline { \quad \quad \quad }$.
(1)$\int \sin^2x \cos xdx=\underline{\quad\quad\quad}$.
(2) $\int \dfrac { \cos x- \sin x}{( \sin x+ \cos x)^{2}}dx= \underline { \quad \quad \quad }$.
(3) $\int \dfrac { \sin 2x}{4+ \sin ^{4}x}dx= \underline { \quad \quad \quad }$.
(4)$\int \tan^4xdx=\underline { \quad \quad \quad }$.
(5)$\int \tan^3x\sec x dx=\underline { \quad \quad \quad }$.
(1)$\int xe^{-2x}dx=\underline{\quad\quad\quad}$.
(2)$\int x^2\ln xdx=\underline{\quad\quad\quad}$.
(3)$\int x\arctan xdx=\underline{\quad\quad\quad}$.
(1)$\int \arcsin xdx= \underline { \quad \quad \quad }$.
(2) $\int \dfrac {x^{2}}{1+x^{2}} \cdot \arctan xdx= \underline { \quad \quad \quad }$.
$\int e^{2x}\cos xdx=\underline { \quad \quad \quad }$.
$\int \frac{\sin x d x}{\sin x+2 \cos x}$
$\int_1^{+\infty} \frac{x^2}{x^6+1} \mathrm{~d} x=$
三、解答题 （ 共 19 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设函数 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上有连续的导数，且 $f(0)=0$ ， 证明 $\left|\int_0^a f(x) \mathrm{d} x\right| \leq \frac{M a^2}{2}$ ，其中 $M=\max _{0 \leq x \leq a}\left|f^{\prime}(x)\right|$.
设 $f(x), g(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有连续导数，且 $f(0)=0, f^{\prime}(x) \geq 0, g^{\prime}(x) \geq 0$. 证明: 对于任意 $a \in[0,1]$ ， 有 $\int_0^a g(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x+\int_0^1 f(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x \geq f(a) g(1)$.
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_1^2 \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x\right)^n$.
在高中，我们学过了阶乘，其定义为 $ n!= 1 *2*3 \cdot \cdot \cdot n$, 这里$n$为0或者正整数，其中规定 $0!=1$, 例如 $5!=1*2*3*4*5=120$ , 那么你知道 $(\dfrac{1}{2})!$ 是多少吗？
计算下列不定积分
(1) $\int \dfrac {x^{2}}{ \sqrt {1+x^{3}}}dx$.
(2) $\int \dfrac {x}{4+x^{4}}dx$.
(3)$\int x\ln(1+x^2) dx$ .
计算下列不定积分
(1) $\int \dfrac { \arctan \sqrt {x}}{ \sqrt {x}(1+x)}dx$.
(2) $\int \dfrac { \arcsin \sqrt {x}}{ \sqrt {x(1-x)}}dx$.
计算下列不定积分
(1) $\int \dfrac {dx}{1+ \cos x}$.
(2) $\int \dfrac { \cos ^{2}xdx}{1+ \cos x}dx$.
(3) $\int \dfrac {1+ \cos x}{1+ \sin x}dx$.
计算下列不定积分
(1) $\int \dfrac {x^{2}}{ \sqrt {1-x^{2}}}dx$.
(2) $\int \dfrac {x^{3}}{ \sqrt {1-x^{2}}}dx$.
(3) $\int \dfrac {dx}{1+ \sqrt {1-x^{2}}}$.
(4) $\int \dfrac {dx}{x \sqrt {1+x^{2}}}$.
计算下列不定积分
(1) $\int \dfrac {4x^{3}+3x+3}{(2x+1)^{2}}dx$.
(2) $\int \dfrac {dx}{x^{2}+x-2}$.
(3) $\dfrac {x^{3}-1}{x^{2}+x}dx$.
(4) $\int \dfrac {dx}{x(1+x^{2})}$.
设 $\dfrac { \sin x}{x} $为$f(x)$的一个原函数，求 $\int f'(2x-1)dx$.
求 $\int \frac{x e^x}{(1+x)^2} d x$
求 $\int \frac{d x}{x \sqrt{1+x^3+x^6}}$
求 $$\int \frac{x e^{\arctan x}}{\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}} d x$$
$\int \frac{d x}{\sin x}$
$\int \frac{d x}{\cos x}$
$\int \frac{d x}{a \sin x+b \cos x}(a, b \neq 0)$
$\int \frac{\cos ^3 x d x}{\sin x+\cos x}$
计算 $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{2-x}}$
设 $f(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t $ 计算 $ \int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x $