一、单选题 （共 11 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设平面曲线 $L: f(x, y)=1$ 过第一象限的点 $A$ 和第三象限的点 $B, f(x, y)$ 有一阶连续偏导数, $\Gamma$ 为 $L$ 上从点 $A$ 到点 $B$ 的一段弧, 设 $I_1=\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} x, I_2=\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} s, I_3=\int_{\Gamma} f_x^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x+$ $f_y^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y$, 则
$\text{A.}$ $I_1>I_3>I_2$.
$\text{B.}$ $I_2>I_3>I_1$.
$\text{C.}$ $I_3>I_1>I_2$.
$\text{D.}$ $I_3>I_2>I_1$.
若 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 \dfrac{n t^{n-1}}{1+\mathrm{e}^{x t}} \mathrm{~d} t$, 则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ $\mathrm{e}^2$.
$\text{B.}$ $1+e$
$\text{C.}$ $\ln (1+e)$.
$\text{D.}$ $\ln 2$.
下列广义积分发散的是
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{\left|x^2-x\right|}}$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \sqrt{x} \ln x \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{1+x \sqrt{x}} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{x^2 \mathrm{e}^{-x^2}}{1+x} \mathrm{~d} x$
设 $f(t)=\iint_{x^2+y^2 \leqslant t^2} \arctan \left(1+x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 则 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f(t)}{\mathrm{e}^t-1-t}= $.
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi^2}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi^2}{4}$
设 $I_1=\int_0^\pi \mathrm{e}^{-x^2} \cos x \mathrm{~d} x, I_2=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \mathrm{e}^{-x^2} \cos x \mathrm{~d} x, I_3=\int_\pi^{2 \pi} \mathrm{e}^{-x^2} \cos x \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$.
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$.
$\text{C.}$ $I_2 < I_3 < I_1$.
$\text{D.}$ $I_2 < I_1 < I_3$.
设 $I_k=\int_0^{k \pi} \mathrm{e}^{x^2} \sin x \mathrm{~d} x(k=1,2,3)$, 则有
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$.
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$.
$\text{C.}$ $I_2 < I_3 < I_1$.
$\text{D.}$ $I_2 < I_1 < I_3$.
设积分 $I=\int_A^B\left(x^4+4 x y^p\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^{p-1} y^2-5 y^4\right) \mathrm{d} y$, 则下列正确的是
$\text{A.}$ 当常数 $p=3$ 时积分 $I$ 与路径无关, 此时, 微分式 $\left(x^4+4 x y^p\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^{p-1} y^2-5 y^4\right) \mathrm{d} y$ 的原函数族是 $\frac{1}{5} x^5+2 x^2 y^3+y^5+C$.
$\text{B.}$ 当常数 $p=3$ 时积分 $I$ 与路径无关, 此时, 微分式 $\left(x^4+4 x y^p\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^{p-1} y^2-5 y^4\right) \mathrm{d} y$ 的原函数族是 $\frac{1}{5} x^5+2 x^2 y^3-y^5+C$.
$\text{C.}$ 当常数 $p=2$ 时积分 $I$ 与路径无关, 此时, 微分式 $\left(x^4+4 x y^p\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^{p-1} y^2-5 y^4\right) \mathrm{d} y$ 的原函数族是 $\frac{1}{5} x^5+2 x^2 y^3-y^5+C$.
$\text{D.}$ 当常数 $p=2$ 时积分 $I$ 与路径无关, 此时, 微分式 $\left(x^4+4 x y^p\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^{p-1} y^2-5 y^4\right) \mathrm{d} y$ 的原函数族是 $\frac{1}{5} x^5+2 x^2 y^3+y^5+C$.
$I_1=\int_0^1 \frac{x}{2(1+\cos x)} d x, I_2=\int_0^1 \frac{\ln 1+x}{1+\cos x} d x, I_3=\int_0^1 \frac{2 x}{1+\sin x} d x$, 则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$
$\text{D.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
若 $\int f(x) d x=F(x)+C$, 则 $\int f(2 x+3) d x=$
$\text{A.}$ $F(2 x+3)$
$\text{B.}$ $2 F(2 x+3)+\mathrm{C}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} F(2 x+3)$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} F(2 x+3)+C$
函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积的
$\text{A.}$ 充要条件
$\text{B.}$ 必要条件
$\text{C.}$ 充分条件
$\text{D.}$ 非必要非充分条件
下列反常积分发散的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \frac{x d x}{\sqrt{1-x^2}}$
$\text{C.}$ $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} d x$
$\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} d x$
二、填空题 （共 9 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
计算 $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_x^{\sqrt{x}} \frac{\cos y}{y} \mathrm{~d} y=$
设 $f(x)$ 是可导函数, 且 $f(0)=0, g(x)=\int_0^1 x f(t x) d t$, 并满足方程 $f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)=x$, 则由曲线 $y=f(x), y=e^{-x}$ 及直线 $x=0, x=2$围成平面图形的面积为
可微函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime}(x)=f(x)+\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$, 且 $f(0)=1$, 则 $f(x)=$
设 $f(x)$ 满足 $\int_0^x f(t-x) \mathrm{d} t=x \cos \pi x$, 则 $f\left(\frac{1}{2}\right)=$
设 $f(x)=x \int_x^\pi\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2 \mathrm{~d} t$, 则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值为
设 $\frac{\sin x}{x}$ 为 $f(x)$ 的一个原函数, 则 $\int a f(a x) d x=$
求 $\int_1^{e^2} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}=$
$\int_{-1}^1\left(\sqrt{1-x^2}+\frac{x^2 \sin x}{1+x^2}\right) d x=$
三、解答题 （ 共 20 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求解以下问题
(1). 证明方程 $(x+1)^{x+1}=\mathrm{e} \cdot x^x$ 只有唯一正实根
(2). 若 $f(x)$ 二阶可导, $p(x)=x-x^2$，证明：
$$
\int_k^{k+1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{f(k+1)+f(k)}{2}-\int_k^{k+1} f^{\prime \prime}(x)p(x-[x])dx
$$
其中 $[x]$ 为取整函数.
(3) 若 $\beta$ 为(1)中方程的正实根，计算
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\beta+\frac{1}{n}\right)\left(\beta+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(\beta+\frac{n}{n}\right)
$$
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\int_0^x \mathrm{e}^{-t} \cos t \mathrm{~d} t}{\ln ^2(1+x)^0}-\frac{1}{x}\right]$.
计算 $I=\int \dfrac{e^{-\sin x} \sin 2 x}{\sin ^4\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)} \mathrm{d} x$
求积分 $\int_1^{+x} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{1+x^5+x^{10}}}$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有连续的导数且 $f(0)=0$. 求证:
$\int_0^1 f^2(x) \mathrm{d} x \leqslant 4 \int_0^1(1-x)^2\left|f^{\prime}(x)\right|^2 \mathrm{~d} x,$
并求使上式成为等式的 $f(x)$.
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{1-\mathrm{e}^{-x}}-\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt{\sin x}}$.
计算积分 $\int_0^1 \frac{1}{x+\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$.
计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+3)}{2^n}$.
计算反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1+x^2}{1+x^4} \mathrm{~d} x$.
设有三角形闸板, 两直角边的和为 $l$. 将其竖直放人水中, 使一直角边与水面重合, 另一直角边垂直向下.问当两直角边成何比例时, 三角形闸板承受水压力最大? 设水的密度为 $1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^3$,求出其最大压力.
计算不定积分: $\int \frac{(1-x)^3}{x^2} d x$ 。
计算不定积分: $\int \frac{2 x^2+1}{x^2\left(x^2+1\right)} d x$ 。
计算不定积分: $\int x^3 \sqrt{x^4+5} d x$ 。
计算定积分: $\int_0^{+\infty} \frac{e^{-x}}{\sqrt{25 e^{2 x}-16}} d x$ 。
$\int x \sin \frac{x}{3} d x$ 。
$\int_{\frac{3}{4}}^1 \frac{d x}{\sqrt{1-x}-1}$ 。
设 $f^{\prime}(\cos x)=\sin x, 0 < x < \pi$, 求 $f(x)$
计算不定积分 $\int \frac{x+1}{x^2-2 x+5} d x$
设 $\int_0^2 f(x) d x=1, f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0$, 求 $\int_0^1 x^2 f^{\prime \prime}(2 x) d x$
计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x+\sin x}{1+\cos x} d x$