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试卷2

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 若反常积分

\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x^{α} {(\tan \frac{π}{2} x)}^{β}} d x

收敛, 则

A.

- 2 < β < 0

且

α + β ⩾ 1

B.

0 < β < 2

且

α + β < 1

C.

β < - 2

且

α + β ⩾ 1

D.

β > - 2

且

α + β < 1

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2. 设

I_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan x}{x} d x, I_{2} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\tan x}{x})}^{2} d x, I_{3} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan x^{2}}{x^{2}} d x

, 则有

A.

I_{1} > I_{2} > I_{3}

B.

I_{3} > I_{2} > I_{1}

C.

I_{2} > I_{1} > I_{3}

D.

I_{1} > I_{3} > I_{2}

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3. 计算积分

\int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{0}^{\tan θ \sec θ} e^{r \cos θ} r d r + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\sin θ}} e^{r \cos θ} r d r =

A.

B.

e^{- 1}

C.

D.

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4. 当

0 < x ⩽ \frac{π}{4}

时,下列不等式成立的是

A.

\int_{0}^{x} e^{t} \cos t d t > x, \int_{0}^{x} e^{t} (1 - \sin t) d t < x

B.

\int_{0}^{x} e^{t} \cos t d t < x, \int_{0}^{x} e^{t} (1 - \sin t) d t > x

C.

\int_{0}^{x} e^{t} \cos t d t > x, \int_{0}^{x} e^{t} (1 - \sin t) d t > x

D.

\int_{0}^{x} e^{t} \cos t d t < x, \int_{0}^{x} e^{t} (1 - \sin t) d t < x

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5. 下列反常积分中, 收敛的是

A.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + x}} d x

B.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{x^{3} (x + 1)^{3}}} d x

C.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{3} + x^{2}}} d x

D.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{x^{3} + x}} d x

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二、填空题（共 9 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 已知微分方程

y^{'} - x \sin 2 y = \frac{\ln x}{\sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}}} \cos^{2} y

, 则不定积分

\int x \tan y d x =

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7. 已知连续正值函数

f (x) = - \frac{24}{π} x \sqrt{x (1 - x)} + \int_{x}^{1} f (y) f (y - x) d y

, 则

\int_{0}^{1} f (x) d x =

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8. 极限

lim_{t \to 0^{+}} \frac{\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2} t} d x \int_{x}^{\sqrt{t^{2} - x^{2}}} \sin (x^{2} + y^{2}) d y}{t^{4}} =

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9. 设

n = 1, 2, \dots

, 则

\int_{0}^{n π} x | \sin x | d x =

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10. 计算不定积分

\int \frac{\ln \ln x}{x} d x

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11. 计算极限

lim_{x \to + \infty} (\sqrt[3]{1 + x + x^{2} + x^{3}} - x)

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12.

f (x) = e^{x^{2022}} \sin x

，求

f^{(2022)} (0)

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13. 求定积分

\int_{0}^{2} \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x

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14.

\int_{0}^{7} \sqrt{\frac{x}{2 - x}} d x =

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三、解答题（共 26 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15. 求

I = \int x e^{a x} \cos (b x) d x

以及

J = \int x e^{a x} \sin (b x) d x

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16. 设

a > 0, b > 0 ， m \neq 0

为某常数，计算积分:

I (a, b) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e^{- a x} - e^{- b x}}{x} \cos (m x) d x .

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17. 求不定积分

\int {[\arcsin (x + \frac{1}{2})]}^{2} d x

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18. 计算不定积分

\int \frac{1}{x^{2} - 1} \sqrt[3]{\frac{x + 1}{x - 1}} d x

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19. 计算不定积分

\int \frac{x^{5} - x}{x^{8} + 1} d x

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20. 求

\int_{0}^{+ \infty} e^{- x} x^{100} d x

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21. 设

f (x)

在

[0, 1]

连续, 已知

\int_{0}^{1} f (x) d x = a_{0}, \int_{0}^{1} x f (x) d x = a_{1}, \int_{0}^{1} x^{2} f (x) d x = a_{2} .

试计算积分

\int_{0}^{1} (\int_{0}^{x} (\int_{0}^{y} f (z) d z) d y) d x

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22. 设

f (x)

在

R

上二阶连续可微, 满足

f^{''} (x) + x f^{'} (x) + f (x) = 0

. 证明:
(i)

f^{'} (x)

和

f (x)

在

R

上有界。
(ii) 进一步有,

lim_{x \to \infty} f (x) = 0, lim_{x \to \infty} f^{'} (x) = 0

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23.

\begin{aligned} 计算积分 I = \iint_{D} | f (x, y) | d x d y, 其中 D : 0 ⩽ x ⩽ 2 π, 0 ⩽ y ⩽ 2 π, \\ f (x, y) = {\begin{cases} \sin (x - y), & 0 ⩽ x ⩽ y, \\ \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}, & 0 ⩽ y ⩽ x . \end{cases} \end{aligned}

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24. 已知

f (x)

为连续函数, 若积分

\int_{0}^{1} [f (x) - x f (x t)] d t

结果与

x

无关, 且

f (0) = 1

, 求

\int \frac{x f (x)}{\sqrt{f (x) - 2}} d x

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25. 求

\int max {1, | x |} d x

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26. 求

\int e^{| x |} d x

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27. 计算

\int ⌊ x ⌋ | \sin π x | d x (x ⩾ 0)

, 其中

⌊ x ⌋

为取整函数

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28. 求不定积分:

\int \frac{1}{\sin 2 x + 2 \sin x} d x

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29. 求不定积分:

\int \sin x \sin 2 x \sin 3 x d x

解

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30. 求不定积分

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin^{3} x}{\tan \frac{3 x}{2}} d x

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31. 求不定积分

\int e^{x} \sin x d x

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32. 求不定积分:

\int \frac{1}{x + \sqrt{1 - x^{2}}} d x

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33. 求不定积分

\int \frac{x^{n}}{1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \dots + \frac{x^{n}}{n!}} d x

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34. 求不定积分:

\int \frac{d x}{1 + x^{6}}

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35. 求不定积分:

\int \frac{d x}{\sqrt{(x - a) (b - x)}}

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36. 求不定积分:

\int \frac{d x}{(x + 7) \sqrt{x - 2}}

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37. 求不定积分:

\int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 1}}

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38. 求不定积分:

\int \frac{1}{x^{4} \sqrt{1 + x^{2}}} d x

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39. 求不定积分:

\int \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x

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40. 求不定积分:

\int \frac{\sin^{188} x}{(\sin x + \cos x)^{190}} d x

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