一、单选题 （共 5 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
若反常积分 $\int_0^1 \frac{\ln x}{x^\alpha\left(\tan \frac{\pi}{2} x\right)^\beta} \mathrm{d} x$ 收敛, 则
$\text{A.}$ $-2 < \beta < 0$ 且 $\alpha+\beta \geqslant 1$.
$\text{B.}$ $0 < \beta < 2$ 且 $\alpha+\beta < 1$.
$\text{C.}$ $\beta < -2$ 且 $\alpha+\beta \geqslant 1$.
$\text{D.}$ $\beta>-2$ 且 $\alpha+\beta < 1$.
设 $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x, I_2=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\tan x}{x}\right)^2 \mathrm{~d} x, I_3=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x^2}{x^2} \mathrm{~d} x$, 则有
$\text{A.}$ $I_1>I_2>I_3$
$\text{B.}$ $I_3>I_2>I_1$
$\text{C.}$ $I_2>I_1>I_3$
$\text{D.}$ $I_1>I_3>I_2$
计算积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\tan \theta \sec \theta} \mathrm{e}^{r \cos \theta} r \mathrm{~d} r+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\frac{1}{\sin \theta}} \mathrm{e}^{r \cos \theta} r \mathrm{~d} r=$.
$\text{A.}$ e
$\text{B.}$ ${e}^{-1}$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ 1
当 $0 < x \leqslant \frac{\pi}{4}$ 时,下列不等式成立的是
$\text{A.}$ $\int_0^x \mathrm{e}^t \cos t \mathrm{~d} t>x, \int_0^x \mathrm{e}^t(1-\sin t) \mathrm{d} t < x$.
$\text{B.}$ $\int_0^x \mathrm{e}^t \cos t \mathrm{~d} t < x, \int_0^x \mathrm{e}^t(1-\sin t) \mathrm{d} t>x$.
$\text{C.}$ $\int_0^x \mathrm{e}^t \cos t \mathrm{~d} t>x, \int_0^x \mathrm{e}^t(1-\sin t) \mathrm{d} t>x$.
$\text{D.}$ $\int_0^x \mathrm{e}^t \cos t \mathrm{~d} t < x, \int_0^x \mathrm{e}^t(1-\sin t) \mathrm{d} t < x$.
下列反常积分中, 收敛的是
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+x}} \mathrm{~d} x$.
$\text{B.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3(x+1)^3}} \mathrm{~d} x$.
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x^3+x^2}} \mathrm{~d} x$.
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+x}} \mathrm{~d} x$.
二、填空题 （共 9 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知微分方程 $y^{\prime}-x \sin 2 y=\frac{\ln x}{\sqrt{\left(1+x^2\right)^3}} \cos ^2 y$, 则不定积分 $\int x \tan y \mathrm{~d} x=$
已知连续正值函数 $f(x)=-\frac{24}{\pi} x \sqrt{x(1-x)}+\int_x^1 f(y) f(y-x) \mathrm{d} y$, 则 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=$
极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2} t} \mathrm{~d} x \int_x^{\sqrt{t^2-x^2}} \sin \left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} y}{t^4}=$
设 $n=1,2, \cdots$, 则 $\int_0^{n \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x=$
计算不定积分 $\int \frac{\ln \ln x}{x} d x$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[3]{1+x+x^2+x^3}-x\right)$
$f(x)=e^{x^{2022}} \sin x$ ，求 $f^{(2022)}(0)$
求定积分 $\int_0^2 \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} d x$
$\int_0^7 \sqrt{\frac{x}{2-x}} \mathrm{~d} x=$
三、解答题 （ 共 26 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求 $I=\int x e^{a x} \cos (b x) \mathrm{d} x$ 以及 $J=\int x e^{a x} \sin (b x) \mathrm{d} x$.
设 $a>0, b>0 ， m \neq 0$ 为某常数，计算积分:
$$
I(a, b)=\int_0^{+\infty} \frac{e^{-a x}-e^{-b x}}{x} \cos (m x) \mathrm{d} x .
$$
求不定积分 $\int\left[\arcsin \left(x+\frac{1}{2}\right)\right]^2 \mathrm{~d} x$.
计算不定积分 $\int \frac{1}{x^2-1} \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}} d x$
计算不定积分 $\int \frac{x^5-x}{x^8+1} d x$
求 $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{100} \mathrm{~d} x$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续, 已知
$$
\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=a_0, \int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x=a_1, \int_0^1 x^2 f(x) \mathrm{d} x=a_2 .
$$
试计算积分 $\int_0^1\left(\int_0^x\left(\int_0^y f(z) \mathrm{d} z\right) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x$.
设 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上二阶连续可微, 满足 $f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)+f(x)=0$. 证明:
(i) $f^{\prime}(x)$ 和 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上有界。
(ii) 进一步有, $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=0$.
$$
\begin{aligned}
& \text { 计算积分 } I=\iint_D|f(x, y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, \text { 其中 } D: 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant y \leqslant 2 \pi, \\
& f(x, y)= \begin{cases}\sin (x-y), & 0 \leqslant x \leqslant y, \\
\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & 0 \leqslant y \leqslant x .\end{cases}
\end{aligned}
$$
已知 $f(x)$ 为连续函数, 若积分 $\int_0^1[f(x)-x f(x t)] \mathrm{d} t$ 结果与 $x$ 无关, 且 $f(0)=1$, 求 $\int \frac{x f(x)}{\sqrt{f(x)-2}} \mathrm{~d} x$.
求 $\int \max \{1,|x|\} \mathrm{d} x$
求 $\int e^{|x|} \mathrm{d} x$.
计算 $\int\lfloor x\rfloor|\sin \pi x| \mathrm{d} x(x \geqslant 0)$, 其中 $\lfloor x\rfloor$ 为取整函数
求不定积分: $\int \frac{1}{\sin 2 x+2 \sin x} \mathrm{~d} x$.
求不定积分: $\int \sin x \sin 2 x \sin 3 x \mathrm{~d} x$解
求不定积分 $ \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^3 x}{\tan \frac{3 x}{2}} \mathrm{~d} x$.
求不定积分 $\int e^x \sin x \mathrm{~d} x$
求不定积分: $\int \frac{1}{x+\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$
求不定积分 $\int \frac{x^n}{1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n!}} \mathrm{d} x$
求不定积分: $\int \frac{\mathrm{d} x}{1+x^6}$.
求不定积分: $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}$.
求不定积分: $\int \frac{\mathrm{d} x}{(x+7) \sqrt{x-2}}$.
求不定积分: $\int \frac{\mathrm{d} x}{x^2 \sqrt{x^2-1}}$.
求不定积分: $\int \frac{1}{x^4 \sqrt{1+x^2}} \mathrm{~d} x$.
求不定积分: $\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^2} \mathrm{~d} x$.
求不定积分: $\int \frac{\sin ^{188} x}{(\sin x+\cos x)^{190}} \mathrm{~d} x$