一、单选题 （共 10 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
若 $f(x)$ 的导函数是 $\sin x$, 则 $f(x)$ 有一个原函数为
$\text{A.}$ $1+\sin x$.
$\text{B.}$ $1-\sin x$.
$\text{C.}$ $1+\cos x$.
$\text{D.}$ $1-\cos x$.
设 $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin (\sin x) \mathrm{d} x, I_2=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos (\sin x) \mathrm{d} x$, 则
$\text{A.}$ $I_1 < 1 < I_2$.
$\text{B.}$ $1 < I_1 < I_2$.
$\text{C.}$ $I_2 < 1 < I_1$.
$\text{D.}$ $I_1 < I_2 < 1$.
已知 $f^{\prime}(x)=2^x(x \in R)$, 则 $f(x)$ 在 $R$ 上的一个原函数为
$\text{A.}$ $\frac{2^x}{\ln 2}$
$\text{B.}$ $\frac{2^x}{\ln ^2 2}$
$\text{C.}$ $2^x \ln 2$
$\text{D.}$ $2^x$
曲线 $y=\int_0^x \mathrm{e}^{-\sqrt{t}} \mathrm{~d} t$ 与 $y$ 轴及其 $x \rightarrow+\infty$ 方向的水平渐近线所围图形的面积为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 8
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ 16
设图数 $f(x, y)$ 在 $\mathbf{R}^{\circ}$ 上进续, 交抰祭次积分的顺序 $\int_{-2}^1 \mathrm{~d} x \int_{x^2}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y=$
$\text{A.}$ $\int_1^4 \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$.
$\text{B.}$ $\int_1^4 \mathrm{~d} y \int_{2-y}^{\sqrt{y}} f(x, y) \mathrm{d} x$.
$\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_1^4 \mathrm{~d} y \int_{2-y}^{\sqrt{y}} f(x, y) \mathrm{d} x$.
$\text{D.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_1^4 \mathrm{~d} y \int_{-\sqrt{y}}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$.
设 $0 < a < 1, I_1=\int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{a x}-1}{\mathrm{e}^x-1} \mathrm{~d} x, I_2=\int_0^1 \frac{\sqrt{a x}+1}{\sqrt{x}+1} \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ $I_1 < a < I_2$.
$\text{B.}$ $I_2 < a < I_1$.
$\text{C.}$ $a < I_1 < I_2$.
$\text{D.}$ $I_1 < I_2 < a$.
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 关于 $f(x), g(x)$ 的定积分有以下命题
(1) 若 $f(x) \geqslant 0$ 且不恒等于 0 , 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x>0$
(2) 若 $f(x) \geqslant 0$, 且 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=0$, 则 $f(x) \equiv 0$
(3) 若 $f(x) \leqslant g(x)$ 且存在 $x_0 \in[a, b]$ 使 $f\left(x_0\right) < g\left(x_0\right)$, 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x < \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$
(4) 若 $f(x) \leqslant g(x)$ 且 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b g(x) \mathrm{d} x$, 则 $f(x) \equiv g(x)$以上命题中正确的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $F(x)=\int_x^{x+2 \pi} \mathrm{e}^{\sin t} \sin t \mathrm{~d} t$, 则 $F(x)$
$\text{A.}$ 为正常数.
$\text{B.}$ 为负常数.
$\text{C.}$ 恒为零.
$\text{D.}$ 不为常数.
设 $a \neq b$, 若 $\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x}-\mathrm{e}^{-b x}}{x} \mathrm{~d} x$ 收敛,则 $a, b$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $a < 0, b < 0$.
$\text{B.}$ $a < 0, b>0$.
$\text{C.}$ $a>0, b < 0$.
$\text{D.}$ $a>0, b>0$.
已知 $f(x)=\max \left\{1, x^2\right\}$, 则 $\int f(x) d x=$
$\text{A.}$ $\begin{cases}\frac{x^3}{3}-\frac{2}{3}+C, & x < -1 \\ x+C, & -1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+\frac{2}{3}+C, & x>1\end{cases}$
$\text{B.}$ $\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^3}{3}+C, & x < -1 \\ x+C, & -1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+C, & x>1\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^3}{3}+C_1, & x < -1 \\ x+C_2, & -1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+C_3, & x>1\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $\begin{cases}\frac{x^3}{3}-\frac{4}{3}+C, & x < -1 \\ x+C, & -1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+\frac{2}{3}+C, & x>1\end{cases}$
二、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $f(x)$ 可表示为 $f(x)=2 x+2 \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$, 则 $f(x)=$
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4 n}}{(4 n) !}=$
设非负连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x) \cdot \int_0^x f(x-t) \mathrm{d} t=\sin ^6 x$, 则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值是
$ \int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{-\arccos y}^{\arccos y}\left(2 \sin ^2 x+\cos ^2 x\right) \mathrm{d} x=$
三、解答题 （ 共 26 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x-5} \mathrm{~d} x$.
$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \dfrac{\int_0^{\sqrt{x}}\left(1-\cos t^2\right) d t}{x^{\frac{5}{2}}}$
$ \int \frac{x}{1+\cos 2 x} d x$
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin 2 x} d x$
$\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2+4 x+13} \mathrm{~d} x$
$\int_0^5 \frac{\mathrm{d} x}{x+\sqrt{25-x^2}}$
设 $f(x)$ 是可导函数, 且 $f(x) \cos x+2 \int_0^x f(t) \sin t \mathrm{~d} t=x+1$, 求 $f(x)$.
计算 $\int \frac{x^2 e^x}{(x+2)^2} d x$.
计算 $\int_0^1 \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$, 其中 $f(x)=\int_1^x \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~d} t$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2}\left(e^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t}{\ln \left(1+x^6\right)}$.
求不定积分 $\int \sin \sqrt{x} \mathrm{~d} x$.
计算定积分 $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(\frac{x \sin ^2 x}{1+\cos ^2 x}+\frac{|x|}{\sqrt{1-x^2}}\right) \mathrm{d} x$.
已知函数
$$
f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 t \mathrm{~d} t \int_0^x \frac{u^2 \mathrm{~d} u}{\left(1+u^2 \sin ^2 t\right)^2},
$$
$F(x)=f(x)-x=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,-1 < x < 1 \text {, }$
求$a_n$的表达式
计算定积分 $\int_{-2}^{-\sqrt{2}} \frac{\mathrm{d} x}{x \cdot \sqrt{x^2-1}}$.
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 连续，广义积分 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛. 证明:
$$
\lim _{\lambda \rightarrow 0^{+}} \int_0^{+\infty} e^{-\lambda x} f(x) \mathrm{d} x=\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x .
$$
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln \left(\frac{\pi}{2}-\arctan \frac{1}{x \sqrt{1+x^2+x^4}}\right)}{\ln \left(\tan \left(x \sqrt{2+x^2+x^4}\right)\right)}$
计算 $\int \frac{\arccos x}{x^2} \mathrm{~d} x$.
计算 $\int_{-1}^1 \frac{x+2}{e^x+e^{-x}} \mathrm{~d} x$.
求反常二重积分 $I=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}|x-y| \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
求定积分: $I=\int_0^{2024} \frac{x}{e^{2024-x}+e^x} \mathrm{~d} x$.
讨论 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p-1}+\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x,(p \geq 0)$ 的条件收敛和绝对收敛性.
设 $f(x)$ 的一个原函数为 $\frac{\sin x}{x}$, 求 $\int x f^{\prime}(2 x) \mathrm{d} x$.
求极限 $l=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n+i}$.
计算定积分 $I=\int_0^1 x^3 \sqrt{1-x^2} \mathrm{~d} x$.
计算 $\int_0^\pi \frac{x}{2+\sin x} \mathrm{~d} x$.
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 x^n \cos \left(1+x^2\right) \mathrm{d} x$