2023普通高等学校微积分专项练习-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

$\int \frac{\sin x d x}{\sin x+2 \cos x}$

0 人点赞

7 次查看

我来讲解

答案：

解:
对于形如 $\int \frac{C \sin x+D \cos x}{A \sin x+B \cos x} d x$ 形式的积分，
我们基本可以考虑仿照以下这样的作法:
设 $\frac{\sin x}{\sin x+2 \cos x}=\mu \frac{\sin x+2 \cos x}{\sin x+2 \cos x}+\lambda \frac{\cos x-2 \sin x}{\sin x+2 \cos x}$
解得: $\mu=\frac{1}{5}, \lambda=-\frac{2}{5}$
则 $\frac{\sin x}{\sin x+2 \cos x}=\frac{1}{5}\left(\frac{\sin x+2 \cos x}{\sin x+2 \cos x}-2 \frac{\cos x-2 \sin x}{\sin x+2 \cos x}\right)$
因此:
$$
\begin{aligned}
& \int \frac{\sin x d x}{\sin x+2 \cos x} \\
& =\int\left(\frac{1}{5}-\frac{2}{5} \times \frac{\cos x-2 \sin x}{\sin x+2 \cos x}\right) d x \\
& =\frac{1}{5} \int d x-\frac{2}{5} \int \frac{d(\sin x+2 \cos x)}{\sin x+2 \cos x} \\
& =\frac{x}{5}-\frac{2}{5} \ln |\sin x+2 \cos x|+C
\end{aligned}
$$

①点击首页查看更多试卷和试题 , 点击查看本题所在试卷
② 下载本题Word版或下载本题PDF版点击赞助本站

关闭