题号:4136    题型:解答题    来源:挑战 入库日期 2023/1/19 20:56:25
在高中,我们学过了阶乘,其定义为 $ n!= 1 *2*3 \cdot \cdot \cdot n$, 这里$n$为0或者正整数,其中规定 $0!=1$, 例如 $5!=1*2*3*4*5=120$ , 那么你知道 $(\dfrac{1}{2})!$ 是多少吗?

【答案】 1728年,哥德巴赫在考虑数列插值的问题时,准备把数列从整数集合延拓到实数集合。例如数列 $1,4,9,16...$ 可以看成函数 $y=n^2$, 这里$n$为整数,但是如果我们把$n$扩展到实数$x$时,$y=x^2$ 仍然成立,这就把把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。
一天哥德巴赫开始处理阶乘序列 $1,2,6,24,120,720...$时,我们可以知道他是 $2!$,$3!$,$4!$ 如下图


我们把这些点描在坐标轴上如下



那我们能否找到一个函数$y=f(x)$ 其图形如上图红色的曲线呢? 因为一旦找到,我们就可以很容易计算 $(\dfrac{1}{2})! , (\dfrac{1}{3})! , (\dfrac{5}{2})! $

但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题,于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利,由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块,他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729 年完美的解决了这个问题,由此导致了伽玛 $\Gamma $ 函数的诞生,当时欧拉只有22岁。

事实上首先解决 $n$ ! 的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利,他发现,
如果 $m, n$ 都是正整数,如果 $m \rightarrow \infty$ ,有
$$
\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots m}{(1+n)(2+n) \cdots(m-1+n)}\left(m+\frac{n}{2}\right)^{n-1} \rightarrow n !
$$
于是用这个无穷乘积的方式可以把 $n$ !的定义延拓到实数集合。例如,取 $n=2.5, m$ 足够大,基于上式就可以近似 计算出 $2.5$ !。
欧拉也偶然的发现 $n$ ! 可以用如下的一个无穷乘积表达
$$
\left[\left(\frac{2}{1}\right)^n \frac{1}{n+1}\right]\left[\left(\frac{3}{2}\right)^n \frac{2}{n+2}\right]\left[\left(\frac{4}{3}\right)^n \frac{3}{n+3}\right] \cdots=n !
$$
用极限形式,这个式子整理后可以写为
$$
\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots m}{(1+n)(2+n) \cdots(m+n)}(m+1)^n=n ! \quad(* *)
$$


左边可以整理为
$$
\begin{aligned}
& \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots m}{(1+n)(2+n) \cdots(m+n)}(m+1)^n \\
= & 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n \cdot \frac{(n+1)(n+2) \cdots m}{(1+n)(2+n) \cdots m} \cdot \frac{(m+1)^n}{(m+1)(m+2) \cdots(m+n)} \\
= & n ! \frac{(m+1)^n}{(m+1)(m+2) \cdots(m+n)} \\
= & n ! \prod_{k=1}^n \frac{m+1}{m+k} \rightarrow n ! \quad(m \rightarrow \infty)
\end{aligned}
$$
所以 $\left(^*\right) 、\left({ }^{* *}\right)$ 式都成立。
欧拉开始尝试从一些简单的例子开始做一些计算,看看是否有规律可循,欧拉极其擅长数学的观察与归纳。当 $n=1 / 2$ 的时候,带入 $\left({ }^*\right)$ 式计算,整理后可以得到
$$
\left(\frac{1}{2}\right) !=\sqrt{\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} \cdot \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 5} \cdot \frac{6 \cdot 8}{7 \cdot 7} \cdot \frac{8 \cdot 10}{9 \cdot 9} \cdots}
$$

然而右边正好和著名的 Wallis 公式关联。Wallis 在 1665 年使用揷值方法计算半圆曲线 $y=\sqrt{x(1-x)}$ 下的面 积(也就是直径为 1 的半圆面积)的时候,得到关于 $\pi$ 的如下结果,
$$
\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} \cdot \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 5} \cdot \frac{6 \cdot 8}{7 \cdot 7} \cdot \frac{8 \cdot 10}{9 \cdot 9} \cdots=\frac{\pi}{4}
$$
于是,欧拉利用 Wallis 公式得到了如下一个很漂亮的结果
$$
\left(\frac{1}{2}\right) !=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
$$

欧拉看到 $\left(\frac{1}{2}\right) !$ 中居然有 $\pi$, 对数学家而言,有 $\pi$ 的地方必然有和圆相关的积分。由此欧拉猜测 $n !$ !定可以表达为 某种积分形式,于是欧拉开始尝试把 $n$ ! 表达为积分形式。虽然Wallis 的时代微积分还没有发明出来,Wallis 是 使用揷值的方式做推导计算的,但是Wallis 公式的推导过程基本上就是在处理积分 $\int_0^1 x^{\frac{1}{2}}(1-x)^{\frac{1}{2}} d x$ ,受 Wallis 的启发,欧拉开始考虑如下的一般形式的积分
$$
J(e, n)=\int_0^1 x^e(1-x)^n d x
$$
此处n 为正整数, $e$ 为正实数。利用分部积分方法,容易得到
$$
J(e, n)=\frac{n}{e+1} J(e+1, n-1)
$$
重复使用上述迭代公式,最终可以得到

$$
J(e, n)=\frac{1 \cdot 2 \cdots n}{(e+1)(e+2) \cdots(e+n+1)}
$$
于是欧拉得到如下一个重要的式子
$$
n !=(e+1)(e+2) \cdots(e+n+1) \int_0^1 x^e(1-x)^n d x
$$
接下来,欧拉使用了一点计算技巧,取 $e=f / g$ 并且令 $f \rightarrow 1, g \rightarrow 0$ ,
然后对上式右边计算极限(极限计算的过程此处略去,推导不难),于是欧拉得 到如下简洁漂亮的结果:
$$
n !=\int_0^1(-\log t)^n d t
$$
欧拉成功的把 $n$ ! 表达为了积分形式! 如果我们做一个变换 $t=e^{-u}$ ,就可以得到我们常见的 Gamma 函数形式
$$
n !=\int_0^{\infty} u^n e^{-u} d u
$$
于是,利用上式把阶乘延拓到实数集上,我们就得到 Gamma 函数的一般形式
$$
\Gamma(x)=\int_0^1(-\log t)^{x-1} d t=\int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} d t
$$

这就是伽马函数。

现在,我们对伽玛函数做一个递推

$$
\Gamma(n+1)=\int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{n+1-1} \mathrm{~d} x=\int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x} x^n \mathrm{~d} x
$$
我们用分部积分法来计算这个积分:
$$
\int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x} x^n \mathrm{~d} x=\left[\frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^{\infty}+n \int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{n-1} \mathrm{~d} x
$$
当 $x=0$ 时, $\frac{-0^n}{\mathrm{e}^0}=\frac{0}{1}=0$ 。当 $x$ 趋于无穷大时,根据洛必达法则,有:
$$
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-n ! \cdot 0}{\mathrm{e}^x}=0 .
$$
因此第一项 $\left[\frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^{\infty}$ 变成了零,所以:
$$
\Gamma(n+1)=n \int_0^{\infty} \frac{x^{n-1}}{\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x
$$
等式的右面正好是 $n \Gamma(n)$ , 因此,递推公式为:
$$
\Gamma(n+1)=n \Gamma(n) .
$$

容易计算
$\Gamma(1)=1$
$\Gamma(2)=2!$
$\Gamma(3)=3!$
$\Gamma(4)=4!$


事实上
$$
\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2 n) ! \sqrt{\pi}}{n ! 4^n}
$$

取 $n=0$,
$$
\left(\frac{1}{2}\right) !=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
$$
另外,伽玛函数在概率论、黎曼函数等数学里有极其重要的应用。


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