一、单选题 （共 8 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
下列广义积分收敛的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \ln x d x$
$\text{B.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x$
设 $f(x)$ 连续, 且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=1, \alpha(x)=\int_0^{\sqrt{x}} \frac{\ln \left(1+t^{+}\right)}{f(t)} d t, \beta(x)=\int_0^{\sin x} \frac{\sqrt{1+t^3}-1}{f(t)} d t$, 则当 $x \rightarrow 0^{+}$时, $\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的
$\text{A.}$ 等价无穷小
$\text{B.}$ 同阶但非等价的无穷小
$\text{C.}$ 高阶无穷小
$\text{D.}$ 低阶无穷小
设 $f(x)$ 是连续函数， $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，则
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 是奇函数时， $F(x)$ 必是偶函数
$\text{B.}$ 当 $f(x)$ 是偶函数时， $F(x)$ 必是奇函数
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 是是周期函数时， $F(x)$ 必是周期函数
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 是单调增函数时， $F(x)$ 必是单调增函数
设 $f(x)$ 为连续函数， $I=t \int_0^{\frac{s}{t}} f(t x) \mathrm{d} x$ ，其中 $s>0, t>0$, 则 $I$ 的值
$\text{A.}$ 依赖于 $s$ 和 $t$
$\text{B.}$ 依赖于 $\mathrm{s}, \boldsymbol{t}, \boldsymbol{x}$
$\text{C.}$ 依赖于 $t$ 和 $x$ ，不依赖于 $s$
$\text{D.}$ 依赖于 $s$ ，不依赖于 $t$
设 $I_k=\int_0^{k \pi} e^{x^2} \sin x \mathrm{~d} x(k=1,2,3)$ ，则有
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
$\text{C.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{D.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
设三个积分分别为
$$
\begin{gathered}
\mathrm{M}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^2} \cos ^4 x \mathrm{~d} x, \\
N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^3 x+\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x, \\
P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^2 \sin ^3 x-\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x,
\end{gathered}
$$
则
$\text{A.}$ $N < P < M$
$\text{B.}$ $M < P < N$
$\text{C.}$ ${N} < M < P$
$\text{D.}$ $P < M < 1$
设 $a_n=\frac{3}{2} \int_0^{\frac{n}{n+1}} x^{n-1} \sqrt{1+x^n} \mathrm{~d} x$ ，则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n$ 等于
$\text{A.}$ $(1+e)^{\frac{3}{2}}+1$
$\text{B.}$ $\left(1+e^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}-1$
$\text{C.}$ $\left(1+e^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}+1$
$\text{D.}$ $(1+e)^{\frac{3}{2}}-1$
设 $$
\begin{aligned}
M & =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^2}{1+x^2} \mathrm{~d} x, \\
N & =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{e^x} \mathrm{~d} x \\
K &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x ，
\end{aligned}
$$
则 $M, N, K$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $M>N>K$
$\text{B.}$ $M>K>N$
$\text{C.}$ $K>M>N$
$\text{D.}$ $K>N>M$
二、填空题 （共 20 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^x(1+\sin x)}{1+\cos x} \mathrm{~d} x=$
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x \mathrm{e}^{x^4}+\cos x\right) \mathrm{d} x=$
$\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2} \mathrm{~d} x=$
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos ^2 x+\int_0^x \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t\right) \sin ^2 x \mathrm{~d} x=$
设 $a>0$, 则 $\int_0^{+\infty} \frac{x^3}{e^{a x}} \mathrm{~d} x=$
求广义积分 $\int_0^{+\infty} x^5 e^{-x^2} d x$
求不定积分 $\int x^2 \arctan x d x$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{i\left(1+\cos \frac{2 \pi i}{n}\right)^2}{n^2+i}=$
记 $F(x)=\int_0^{x^2} \cos \left(\pi t^2\right) \mathrm{d} t$ ，则 $F^{\prime}(1)=$
设 $f(x)=\min \left\{x^2, 1\right\}$ ，则 $\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=$
$\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^x+1}=$
设 $p>0$ ，广义积分 $\int_1^{+\infty} x^2 \ln \left(1+\sin \frac{1}{x^p}\right) \mathrm{d} x$ 收敛，则实数 $p$ 的取值范围是
设连续函数 $f(x)$ 满足 $2 \int_1^x f(t) \mathrm{d} t=x f(x)+x^2$ ，则 $f^{\prime}(1)=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k-\sin ^2 n}=$
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t}{x \int_0^x f(x-t) \mathrm{d} t}$, 其中 $f(x)$ 连续且 $f(0) \neq 0$.
设 $f(x)$ 是周期为 2 的连续函数:
(1) 证明对任意实数 $t$ ，有 $\int_t^{t+2} f(x) \mathrm{d} x=\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x$ ；
(2) 证明 $G(x)=\int_0^x\left[2 f(t)-\int_t^{t+2} f(s) \mathrm{d} s\right] \mathrm{d} t$ 是周期为 2 的周 期函数.
设 $f(x)=\int_1^x \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t$ ，其中 $x>0$ ，求 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$.
设 $f(x)$ 是区间 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的单调、可导函数，且满足
$$
\int_0^{f(x)} f^{-1}(t) \mathrm{d} t=\int_0^x t \frac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t} \mathrm{~d} t
$$
其中 $f^{-1}$ 是 $f$ 的反函数，求 $f(x)$.
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内满足
$$
f(x)=f(x-\pi)+\sin x ，
$$
且 $f(x)=x, x \in[0, \pi)$ ，计算 $I=\int_\pi^{3 \pi} f(x) \mathrm{d} x$.
设函数 $f(x)$ 可导，且 $f(0)=0$ ，
$$
F(x)=\int_0^x t^{n-1} f\left(x^n-t^n\right) \mathrm{d} t,
$$
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{F(x)}{x^{2 n}}$.
三、解答题 （ 共 12 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求广义积分: $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \cos (a x) \mathrm{d} x$, 其中 $a$ 为常数.
计算积分
$$
I=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \phi \int_0^\pi e^{\sin \theta(\cos \phi-\sin \phi)} \sin \theta \mathrm{d} \theta
$$
已知 $f(x)=x^3+\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x$, 求 $f(x)$.
求 $\int_0^3(x+1) \ln \sqrt{x+1} \mathrm{~d} x$.
计算 $I=\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^1 \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} y$.
已知 $f^{\prime \prime}(x)$ 连续, 且 $f(0)=f(\pi)=1$, 求积分 $\int_0^\pi\left[f(x)+f^{\prime \prime}(x)\right] \sin x d x$.
设无穷积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛.
(1) 证明: 若 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，则
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0 .
$$
(2) 若去掉 “一致连续” 能否推出 " $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ " ? 若可 以，请证明，否则举出反例.
求积分 $\int_0^{\mathrm{e}} \cos (\ln x) \mathrm{d} x$ 的值。
设 $a$ 为常数, 反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x^a \arctan x^b}{\sqrt{1+x^c}} \mathrm{~d} x$ 对任意正实数 $b, c$ 均收玫.
(I) 求 $a$ 的值.
(II) 证明: $\frac{\sqrt{2} \pi^2}{8} \leqslant \int_0^{+\infty} \frac{x^a \arctan x}{\sqrt{1+x^2}} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{\pi(\pi+2)}{8}$.
设 $f(x)$ 连续, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$. 求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[1+\int_0^x t f\left(x^2-t^2\right) d t\right]^{({tan} x-x) \ln (1+x)}$.
计算定积分 $\int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin x \cdot \arctan \mathrm{e}^x}{1+\cos ^2 x} \mathrm{~d} x$.
设平面区域 $D$ 在 $x$ 轴和 $y$ 轴上投影区间的长度分别为 $l_x$ 和 $l_y, S_D$ 表示平面区域 $D$ 的面积， $(\alpha, \beta)$ 为 $D$ 内任意一点，证明:
(1) $\left|\iint_D(x-\alpha)(y-\beta) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leq l_x l_y S_D$ ；
(2) $\left|\iint_D(x-\alpha)(y-\beta) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leq \frac{l_x^2 l_y^2}{4}$.