一、单选题 （共 3 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设反常积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{x|\ln x|^a \cos ^b 2 x} \mathrm{~d} x$ 收敛,则
$\text{A.}$ $a < 1, b < 1$.
$\text{B.}$ $a < 1, b>1$.
$\text{C.}$ $a>1, b < 1$.
$\text{D.}$ $a>1, b>1$.
记 $I=\int_0^1 \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x, J=\int_0^1 \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ $\sin 1>I$
$\text{B.}$ $I>1$
$\text{C.}$ $J < \tan 1$
$\text{D.}$ $J < 1$
设在极坐标系下, 区域的表示为 $D=\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, r \leqslant 1\}$, 记
$$
\begin{aligned}
& I_1=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^1(\cos r+r \cos \theta+r \sin \theta) r \mathrm{~d} r, \\
& I_2=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^1\left(\cos r^2-r \cos \theta+r \sin \theta\right) r \mathrm{~d} r, \\
& I_3=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^1\left(\cos r^4-r \cos \theta-r \sin \theta\right) r \mathrm{~d} r,
\end{aligned}
$$
则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$.
$\text{B.}$ $I_2 < I_1 < I_3$.
$\text{C.}$ $I_3 < I_2 < I_1$.
$\text{D.}$ $I_3 < I_1 < I_2$.
二、填空题 （共 20 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设函数 $f(x)$ 连续， $g(x)=\int_0^1 f(x t) \mathrm{d} t$ ，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A$ ， $A$ 为常数. 求 $g^{\prime}(x)$ 并讨论 $g^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性.
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续， $x \in(a, b)$ ，证明:
$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \int_a^x[f(t+h)-f(t)] \mathrm{d} t=f(x)-f(a) .
$$
求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt[3]{x} \int_x^{x+1} \frac{\sin t}{\sqrt{t+\cos t}} \mathrm{~d} t$.
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续导数，且
$$
|f(x)| \leq 1, f^{\prime}(x)>0, x \in(-\infty,+\infty),
$$
证明：对于 $0 < \alpha < \beta$ ，成立
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_\alpha^\beta f^{\prime}\left(n x-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x=0
$$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且
$$
F(x)=\int_0^x(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t ，
$$
试证: (1) 若 $f(x)$ 为偶函数，则 $F(x)$ 也是偶函数；
(2) 若 $f(x)$ 单调不增，则 $F(x)$ 单调不减.
$\int_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^1 \frac{\arctan x}{x^5} \mathrm{~d} x=$
设 $x+\cos 2 x$ 为 $f(x)$ 的原函数, 则 $\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x=$ ________ , $f^{(2015)}(0)=$ ________
设 $f(x)=\int_{-1}^x \dfrac{t^2+t}{t^6+1} \mathrm{~d} t$, 则 $f(1)=$ ________ , $f^{\prime}(1)=$ ________
设 $\int f(x) d x=\sin 2 x+c$, 则 $f(x)=$
广义积分 $\int_2^{\infty} \frac{d x}{x^2+x-2}=$
求 $\int_{-1}^1\left(2 x+\sqrt{1-x^2}\right)^2 d x$
$\int_1^{+\infty} \frac{x^2}{x^6+1} \mathrm{~d} x=$
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[3]{\tan x}}{(\sin x+\cos x)^2} d x=$
设 $f(x)$ 连续且 $f(x+2)-f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2}$ ， 则
$$
\int_1^3 f(x) \mathrm{d} x=
$$
$\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^x \sqrt{1+y^2} \mathrm{~d} y+3 \int_0^1 \mathrm{~d} y \int_1^{\sqrt{2-y^2}} \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} x=$
已知 $e^{-x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, 则 $\int x^2 f(\ln x) d x=$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+x^2, & x < 0 \\ e^x, & x \geq 0\end{array}\right.$, 则 $\int_1^3 f(x-2) d x=$
$\int \sqrt{x^2+2 x+2} d x$;
$\int_0^{2 \pi} \frac{1}{1+2 a \cos \theta+a^2} d \theta$, 其中实数 $a>1$;
积分 $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \cos \theta}\left[(r \cos \theta-1)^3+r \sin \theta\right] r \mathrm{~d} r=$
三、解答题 （ 共 17 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算不定积分 $\int \frac{x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{\left(1-x^2\right)^2} \mathrm{~d} x$.
计算积分 $\int_0^1 x^m(\ln x)^n \mathrm{~d} x$ ，其中 $m, n$ 为自然数.
计算 $\int \frac{1}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}} \mathrm{~d} x$.
计算 $\int_{-\infty}^0 x e^x \mathrm{~d} x$.
设 $f(x)=e^{-x}$; 求 $\int \frac{f^{\prime}(\ln x)}{x} d x$
设 $f(x)$ 二阶可导并且 $f(x)$ 具有反函数 $f^{-1}(x), f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f^{-1}(x)}\right]$ 。
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n^2+k}-\frac{n}{3}\right]$.
设 $n$ 为给定的正整数， $[x]$ 表示 $x$ 的取整， $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin t \mathrm{~d} t=-\frac{1}{2} \pi \ln 2$. 计算
$$
I=\int_0^1[n x] \cdot \frac{\ln x+\ln (1-x)}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x .
$$
设 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x^n \ln x$, 计算 $\int_0^1 f(x) d x$
求函数 $f(x)=\frac{2 x \sin \theta}{1-2 x \cos \theta+x^2}$ 在 $x=0$ 的泰勒展开。其中 $\theta$ 是常数. 并计算积分 $\int_0^\pi \ln \left(1-2 x \cos \theta+x^2\right) d \theta$.
证明 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x=\frac{\pi}{2}$, 并计算 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin ^2(x y)}{x^2} d x$ 。
计算定积分 $\int_0^\pi \sqrt{\sin x-\sin ^3 x} d x$.
试用Beta函数表示 $\int_0^{+\infty} \frac{x^a}{\left(1+x^2\right)^b} d x$, 其中 $a, b$ 为实数且 $a>0,2 b-a>1$ 。
设函数 $f(x)$ 于 $[0,+\infty)$ 上连续, 且满足
$$
f(x)=\frac{1}{x^2+\left(\int_0^x f(t) d t+\sqrt{3}\right)^2},
$$
(1) 证明: 反常积分 $\int_0^{+\infty} f(x) d x$ 收玫, 且其值小于 $\frac{\pi}{2 \sqrt{3}}$;
(2) 设数列 $\left\{x_n\right\}_{n=1}^{\infty}$ 满足 $x_{n+1}=\int_0^{x_n} f(t) d t, n \geq 1, x_1 \geq 0$, 试证: $\lim _{n \rightarrow+\infty} x_n$ 存在且有限。
计算积分
$$
\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{1}{4 s}} s^{-\frac{3}{2}} \mathrm{e}^{-s} \mathrm{~d} s
$$
判断下列积分的正负, 并给出理由
$$
\int_0^{2 \pi} e^{-x^2} \cos x d x
$$