设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导, 且 $f(0)=0$, 其反函数为 $g(x)$, 满足
$$
\int_0^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=(x-1) \mathrm{e}^x+x^2+1,
$$
则 $f(x)$ 的表达式为 $f(x)=$
【答案】 $f(x)=\mathrm{e}^x+2 x-1$.

【解析】 【解】在已知方程两边对 $x$ 求导, 得 $g[f(x)] \cdot f^{\prime}(x)=x \mathrm{e}^x+2 x$. 由题设知 $g[f(x)]=x$, 当 $x > 0$ 时, 整理得 $f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^x+x$. 积分得 $f(x)=\mathrm{e}^x+2 x+C$, 代人 $f(0)=0$, 得 $C=-1$, 故 $f(x)=\mathrm{e}^x+2 x-1$.
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