设函数 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上有连续的导数,且 $f(0)=0$ , 证明 $\left|\int_0^a f(x) \mathrm{d} x\right| \leq \frac{M a^2}{2}$ ,其中 $M=\max _{0 \leq x \leq a}\left|f^{\prime}(x)\right|$.
【答案】 【参考解析】由拉格朗日中值定理可知,对任意 $x \in[0, a]$ , 有 $f(x)-f(0)=f^{\prime}(\xi) \cdot x, 0 < \xi < x$, 因为 $f(0)=0$ ,所 以 $|f(x)|=\left|f^{\prime}(\xi) \cdot x\right| \leq M x, 0 < x \leq a$, 当 $x=0$ 不等式 也成立,于是有
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\left|\int_0^a f(x) \mathrm{d} x\right| \leq \int_0^a|f(x)| \mathrm{d} x \leq M \int_0^a x \mathrm{~d} x=\frac{M a^2}{2}
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