设 $f(x), g(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有连续导数，且 $f(0)=0, f^{\prime}(x) \geq 0, g^{\prime}(x) \geq 0$. 证明: 对于任意 $a \in[0,1]$ ， 有 $\int_0^a g(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x+\int_0^1 f(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x \geq f(a) g(1)$.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$