设 $f(x), g(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有连续导数,且 $f(0)=0, f^{\prime}(x) \geq 0, g^{\prime}(x) \geq 0$. 证明: 对于任意 $a \in[0,1]$ , 有 $\int_0^a g(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x+\int_0^1 f(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x \geq f(a) g(1)$.
【答案】 【参考解析】令辅助函数
$$
\begin{aligned}
F(a) &=\int_0^a g(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \\
+& \int_0^1 f(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x-f(a) g(1), a \in[0,1]
\end{aligned}
$$
由于 $f(0)=0$ ,所以有
$$
\begin{aligned}
&F(1)=\int_0^1 g(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x+\int_0^1 f(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x-f(1) g(1) \\
&=\int_0^1\left[g(x) f^{\prime}(x)+f(x) g^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x-f(1) g(1) \\
&=\int_0^1[g(x) f(x)]^{\prime} \mathrm{d} x-f(1) g(1) \\
&=[g(x) f(x)]_0^1-f(1) g(1)=-g(0) f(0)=0
\end{aligned}
$$
对函数 $F(a)$ 关于变量 $a$ 求导,则有

$$
\begin{aligned}
F^{\prime}(a) &=g(a) f^{\prime}(a)-f^{\prime}(a) g(1) \\
&=f^{\prime}(a)[g(a)-g(1)], a \in[0,1]
\end{aligned}
$$
由于 $f^{\prime}(x) \geq 0, g^{\prime}(x) \geq 0$ ,所以 $f^{\prime}(a) \geq 0$ ,并且有 $g(a) \leq g(1)$ ,所以 $F^{\prime}(a) \leq 0$ ,即函数 $F(a)$ 单调递减,又 由于 $F(1)=0$ ,所以 $F(a) \geq F(1)=0$ ,即
$$
\begin{aligned}
&\int_0^a g(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x+\int_0^1 f(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x-f(a) g(1) \\
&\geq 0, a \in[0,1]
\end{aligned}
$$
所以原不等式成立.


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