求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_1^2 \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x\right)^n$.
【答案】 $\int_1^2 \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x=\frac{n}{n+1}\left(3^{1+\frac{1}{n}}-2^{1+\frac{1}{n}}\right)$, 从而
$$
\begin{gathered}
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_1^2 \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x\right)^n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}\left(3^{1+\frac{1}{n}}-2^{1+\frac{1}{n}}\right)^n=\mathrm{e}^{-1} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(3^{1+\frac{1}{n}}-2^{1+\frac{1}{n}}\right)^n . \\
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(3 \cdot 3^x-2 \cdot 2^x\right)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \dfrac{\ln \left(3 \cdot 3^x-2 \cdot 2^x\right)}{x}}=\mathrm{e}^{3 \ln 3-2 \ln 2}=\frac{27}{4}, \text { 故 }_{n \rightarrow \infty} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(3^{1+\frac{1}{n}}-2^{1+\frac{1}{n}}\right)^n=\frac{27}{4} .
\end{gathered}
$$
因此 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_1^2 \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x\right)^n=\frac{27}{4} \mathrm{e}^{-1}$.


系统推荐
解答题 来源:2002年全国硕士研究生入学统一考试数学
设有一小山, 取它的底面所在的平面为 $x O y$ 坐标面, 其底部所占的区域为 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}-x y\right.$ $\leqslant 75\}$, 小山的高度函数为 $h(x, y)=75-x^{2}-y^{2}+x y$. (1)设 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为区域 $D$ 上一点, 问 $h(x, y)$ 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方 向导数的最大值为 $g\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 试写出 $g\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的表达式. (2) 现欲利用此小山开展攀岩活动, 为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为燓登的起点. 也就是说, 要在 $D$ 的边界线 $x^{2}+y^{2}-x y=75$ 上找出使 (1) 中的 $g(x, y)$ 达到最大值的点. 试确定 攀登起点的位置.