2023普通高等学校微积分专项练习-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

$\int \frac{\cos ^3 x d x}{\sin x+\cos x}$

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我来讲解

答案：

解:
看到关于三角函数的立方的高次项，我们首先要想办法对其降次。
由于:
$$
\begin{aligned}
& \frac{\cos ^3 x}{\sin x+\cos x} \\
& =\frac{\cos x\left(1-\sin ^2 x\right)}{\sin x+\cos x} \\
& =\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}-\frac{\cos x \sin ^2 x}{\sin x+\cos x}
\end{aligned}
$$
因此记:
$$
\begin{aligned}
& A=\int \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} d x \\
& B=\int \frac{\cos x \sin ^2 x}{\sin x+\cos x} d x
\end{aligned}
$$
因此: $\int \frac{\cos ^3 x d x}{\sin x+\cos x}=A-B$
则:
$$
\begin{aligned}
& A=\int \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} d x \\
& =\int \frac{1}{2}\left(\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}+\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}\right) d x \\
& =\frac{1}{2} \int \frac{d(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x}+\frac{1}{2} \int d x \\
& =\frac{1}{2} \ln |\sin x+\cos x|+\frac{x}{2}+C_1
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& B=\int \frac{\cos x \sin ^2 x}{\sin x+\cos x} d x \\
& =-\int \frac{\sin x \cos x}{\sin x+\cos x} d \cos x \\
& =-\int \frac{\sin x \cos x d \cos x}{\sin x+\cos x}-\frac{1}{2} \int \frac{\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right) d \cos x}{\sin x+\cos x}+\frac{1}{2} \int \frac{d \cos x}{\sin x+\cos x} \\
& =-\frac{1}{2} \int \frac{(\sin x+\cos x)^2 d \cos x}{\sin x+\cos x}-\frac{1}{2} \int \frac{\sin x d x}{\sin x+\cos x} \\
& =-\frac{1}{2} \int \sin x d \cos x-\frac{1}{2} \int \cos x d \cos x-\frac{1}{2} \int \frac{\sin x d x}{\sin x+\cos x} \\
& =\frac{1}{2} \int\left(\frac{1-\cos 2 x}{2}\right) d x-\frac{1}{4}(\cos x)^2-\frac{1}{2} \int \frac{\sin x d x}{\sin x+\cos x} \\
& =\frac{1}{4}\left(x-\frac{\sin 2 x}{2}\right)-\frac{1}{4} \cos ^2 x-\frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{2} \ln |\sin x+\cos x|\right)+C_2
\end{aligned}
$$

(核心依旧是降次，将 $\cos x \sin ^2 x$ 三次项降为二次项，以上做法有一定的技巧性但不难观察出来。)
因此:
$$
\begin{aligned}
& \int \frac{\cos ^3 x d x}{\sin x+\cos x}=A-B \\
& =\frac{x}{2}+\frac{\sin 2 x}{8}+\frac{1}{4} \cos ^2 x+\frac{1}{4} \ln |\sin x+\cos x|+C
\end{aligned}
$$

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