设积分 $I=\int_0^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^a\right) \ln \left(1+x^b\right)} \mathrm{d} x$, 其中 $a > 0, b > 0$, 若该积分收玫, 则必有
$ \text{A.} $ $0 < a < 1,0 < b < 1$ $ \text{B.} $ $0 < a < 1, b > 1$ $ \text{C.} $ $a > 1,0 < b < 1$ $ \text{D.} $ $a > 1, b > 1$
【答案】 C

【解析】 【解】 $I=\int_0^1 \frac{1}{\left(1+x^4\right) \ln \left(1+x^b\right)} \mathrm{d} x+\int_1^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^a\right) \ln \left(1+x^6\right)} \mathrm{d} x, I$ 收敛的充分必要条件 是 $\int_0^1 \frac{1}{\left(1+x^u\right) \ln \left(1+x^b\right)} \mathrm{d} x$ 与 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^u\right) \ln \left(1+x^{\prime \prime}\right)} \mathrm{d} x$ 均收敛.
$x \rightarrow 0^{+}$时. $\left(1+x^a\right) \ln \left(1+x^b\right) \sim x^b \cdot \int_0^1 \frac{1}{\left(1+x^a\right) \ln \left(1+x^{\prime \prime}\right)} \mathrm{d} x$ 收玫, 则必有 $b < 1$.
当 $x \rightarrow+\infty$ 时, 若 $a \leqslant 1$, 则有 $\frac{1}{\left(1+x^4\right) \ln \left(1+x^b\right)} \geqslant \frac{1}{(1+x) \ln (1+x)}(x \geqslant 1)$.
$\int_1^{+\infty} \frac{1}{(1+x) \ln (1+x)} \mathrm{d} x=\left.\ln \ln (1+x)\right|_1 ^{+\infty}=+\infty$, 因此积分 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^a\right) \ln \left(1+x^b\right)} \mathrm{d} x$ 发 散. 若 $a > 1$, 则有
$$
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{\left(1+x^a\right) \ln \left(1+x^b\right)}}{\frac{1}{x^a}}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^a}{\left(1+x^a\right) \ln \left(1+x^b\right)}=0,
$$
且此时 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^u} \mathrm{~d} x(a > 1)$ 收敛, 积分 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^a\right) \ln \left(1+x^b\right)} \mathrm{d} x$ 收玫, 因此答案为 $\mathrm{C}$.
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