2022高等数学(微积分)下册摸底测试与答案-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

计算三重积分 $\iiint_{\Omega} z d v$, 其中 $\Omega$ 为曲面 $z=\sqrt{2-x^2-y^2}$ 及 $z=x^2+y^2$ 所围成的闭区域。

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我来讲解

答案：

解：联立 $\Omega$ 的两曲面方程，得交线： $x^2+y^2=1, \quad(z=1)$ ；
投影柱面: $x^2+y^2=1 ; \Omega$ 在 $x o y$ 面的投影域为: $D_{x y}: x^2+y^2 \leq 1(z=0)$,
用柱面坐标: $\Omega: 0 \leq r \leq 1,0 \leq \theta \leq 2 \pi, r^2 \leq z \leq \sqrt{2-r^2}, \quad$
$$
\begin{aligned}
& \iiint_{\Omega} z d v=\iiint_{\Omega} z \cdot r d r d \theta d z==\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^1 d r \int_{a_0}^{\sqrt{2-r^2}} r \cdot z d z \\
& =2 \pi \cdot \int_0^1 r d r \cdot \frac{1}{2}\left(2-r^2-r^4\right) \\
& =\pi \cdot \int_0^1\left(2 r-r^3-r^5\right) d r=\frac{7 \pi}{12}
\end{aligned}
$$

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