题号:2977    题型:解答题    来源:李林考研数学考前冲刺模拟卷1(数学一)
设 $D=\{(x, y)|| x|+| y \mid \leqslant 1\}, L$ 为 $D$ 的边界, 取逆时针方向, 若 $f(t)$ 连续, $g(t)$ 有一阶连续导数, 计算积分
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I=\oint_L\left[f\left(x^2+y^2\right)+g(x+y)\right](x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y) .
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答案:

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\begin{aligned}
I &=\oint_L\left[f\left(x^2+y^2\right)+g(x+y)\right](x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y) \\
&=\oint_L f\left(x^2+y^2\right)(x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y)+\oint_L g(x+y)(x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y) \\
& \stackrel{\text { 记 }}{=} I_1+I_2 .
\end{aligned}
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对于 $I_1=\oint_L f\left(x^2+y^2\right)(x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y)$, 令 $x^2+y^2=u$, 则
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I_1=\oint_L f\left(x^2+y^2\right)(x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y)=\oint_L f\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d}\left[\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\right] .
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因为 $f(u)$ 连续, 所以存在 $F(u)=\int_0^u f(t) \mathrm{d} t$, 使得 $F^{\prime}(u)=f(u)$, 故
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\mathrm{d}\left[\frac{1}{2} F(u)\right]=\frac{1}{2} F^{\prime}(u) \mathrm{d} u=f\left(x^2+y^2\right)(x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y),
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从而 $I_1=\oint_L f\left(x^2+y^2\right)(x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y)=\oint_L \mathrm{~d}\left[\frac{1}{2} F(u)\right]=0$.

对于 $I_2=\oint_L g(x+y)(x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y)$, 记 $P=g(x+y) x, Q=g(x+y) y$, 则
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\frac{\partial Q}{\partial x}=g^{\prime}(x+y) y, \frac{\partial P}{\partial y}=g^{\prime}(x+y) x .
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故 $I_2=\oint_L g(x+y)(x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y) \frac{\text { 格林 }}{\text { 公式 }} \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_D(y-x) g^{\prime}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$. 由于 $D$ 关于直线 $y=x$ 对称, 则根据轮换对称性, 有
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\iint_D(y-x) g^{\prime}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \iint_D\left[(y-x) g^{\prime}(x+y)+(x-y) g^{\prime}(x+y)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0 .
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故 $I=I_1+I_2=0+0=0$.
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