一、单选题 （共 8 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
下列广义积分收敛的是
$\text{A.}$ $\int_0^1 \ln x \mathrm{~d} x$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}}$
$\text{D.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln x}$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n^4} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n i^2 \sin \frac{\pi j}{2 n}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{5}$.
已知 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数, 则 $\int x f^{\prime}(2 x) \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4} x F^{\prime}(2 x)+\frac{1}{2} F(2 x)+C$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} x F^{\prime}(2 x)-\frac{1}{2} F(2 x)+C$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} x F^{\prime}(2 x)+\frac{1}{4} F(2 x)+C$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} x F^{\prime}(2 x)-\frac{1}{4} F(2 x)+C$.
以下说法正确的是( ).
$\text{A.}$ 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有定义，则 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积
$\text{B.}$ 如果 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积，则 $\Phi(x)=\int_a^x f(t) \mathrm{d} t$, $x \in[a, b]$ 可导
$\text{C.}$ 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续， $c \in(a, b)$ ，则 $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_c^x f(t) \mathrm{d} t=f(x) $
$\text{D.}$ 如果 $f(x)$ 是定义在区间 $[-a, a](a>0)$ 上的奇函数，则 $ \int_{-a}^a f(t) \mathrm{d} t=0$
设 $f(x)=\int_0^{\sqrt{1+x}-1} \ln (1+t) \mathrm{d} t, g(x)=\int_0^{\sqrt{x}} \arcsin t \mathrm{~d} t$ ， 则当 $x \rightarrow 0$ 时，下列结论正确的是 ( ).
$\text{A.}$ $f(x)$ 是比 $g(x)$ 高阶的无穷小
$\text{B.}$ $f(x)$ 是比 $g(x)$ 低阶的无穷小
$\text{C.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 是同阶的无穷小，但不等价
$\text{D.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小
设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数，则 $\int_{a+k T}^{a+(k+1) T} f(x) \mathrm{d} x$ 的积分值( )
$\text{A.}$ 仅与 $a$ 有关
$\text{B.}$ 仅与 $a$ 无关
$\text{C.}$ 与 $a$ 和 $k$ 都无关
$\text{D.}$ 与 $a$ 和 $k$ 都有关
下列积分收敛的是 ( ).
$\text{A.}$ $\int_1^2 \frac{\mathrm{d} x}{(\ln x)^3}$
$\text{B.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2 x}{1+x^2} \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln x}$
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{x^2}{x^4+x^2+\frac{1}{5} x} \mathrm{~d} x$
已知平面区域 $D_1=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right.\right\}, D_2=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant x \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}\right.\right\}$, $D_3=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant y \leqslant \pi\right.\right\}$, 记 $I_1=\iint_{D_1} \mathrm{e}^{-x^2} \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_{D_2} \mathrm{e}^{-x^2} \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, $I_3=\iint_{D_3} \mathrm{e}^{-x^2} \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 则
$\text{A.}$ $I_3 < I_1 < I_2$.
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$.
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$.
$\text{D.}$ $I_1 < I_2 < I_3$.
二、填空题 （共 14 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $f(x)$ 的原函数为 $\frac{\ln x}{x}$ ，则 $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
$\int_{-1}^1\left(\sqrt{1-x^2}+\sin ^3 x\right) \mathrm{d} x=$
计算广义积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(1+|x|) \sqrt{|x(1-x)|}} \mathrm{d} x=$
设 $f(x)=\int_{-x}^x \frac{\sin x t}{t} \mathrm{~d} t, x \neq 0$, 则 $\int x^2 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
设曲线 $y=\frac{x}{\sqrt{1+n x^2}}$ ( $n$ 为正整数) 与 $x=1$ 及 $x$ 轴所围区域绕 $x$ 轴旋转一周 所得体积为 $V_n$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n V_n=$
$\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^2} \int_0^t \mathrm{~d} x \int_0^{t-x} \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} y=$
设 $\varphi(u)$ 为连续函数, 且 $\int_y^x \varphi(t-x-y) \mathrm{d} t=x^2+y^2+z$, 则 $y \frac{\partial z}{\partial x}-x \frac{\partial z}{\partial y}=$
设 $\alpha$ 为实数, 则 $\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+x^2\right)\left(1+x^a\right)}=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots+\frac{n-1}{n^2}\right)=$
若 $f(x)$ 有连续导数，且
$$
\int_0^\pi f(x) \sin x \mathrm{~d} x=k, f(\pi)=-2, f(0)=5,
$$
则 $\int_0^\pi f^{\prime}(x) \cos x \mathrm{~d} x=$
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid y \geqslant x^2-2, y \leqslant x \leqslant 1\right\}$, 则二重积分 $\iint_D x\left(2 \mathrm{e}^y-\mathrm{e}^{-y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
若常数 $a>0$, 则二重积分 $\iint_{x^2+y^2 \leq a^2} \sqrt{a^2-x^2-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
二重积分 $\iint_{x^2+y^2 \leq 1} \sqrt{1-x^2-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
三、解答题 （ 共 18 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x-\sin x}{1+\cos x} d x$
求函数 $f(x)=\int_0^x(t-1)(t-2)^2 d t$ 的极值和它所表示的曲线的拐点的横坐 标.
计算 $\int_0^{\ln 2} \sqrt{e^x-1} \mathrm{~d} x$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^x}{x}-\frac{1}{e^x-1}\right)$.
求曲线 $y=\ln x(2 \leq x \leq 6)$ 的一切线，使得该切线与直线 $x=2 ， x=6$ 及曲线 $y=\ln x$ 围成 图形面积 $A$ 最小。
计算 $\iint_D \frac{1-x^2 y^3}{\left(x+\sqrt{1-y^2}\right)^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1,-x \leqslant y \leqslant x\right\}$.
设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant 1-x, 0 \leqslant x \leqslant 1\}$, 计算 $I=\iint_D e^{\frac{x}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$, 计算 $I=\iint_D 2 x y \mathrm{e}^{x^2-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
计算定积分 $\int_{-1}^1 \frac{2 x^2+x \cos x}{1+\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$.
设函数 $f(x)$ 连续，且
$\int_0^x t f(2 x-t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \arctan \left(x^2\right)$. 已知 $f(1)=1$ ，
求 $\int_1^2 f(x) \mathrm{d} x$ 的值.
设 $a$ 为大于 1 的常数， $f(x)$ 是连续函数，证明
$$
\int_1^a f\left(x^2+\frac{a^2}{x^2}\right) \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\int_1^a f\left(x+\frac{a^2}{x}\right) \frac{1}{x} \mathrm{~d} x .
$$
函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x y \mathrm{e}^{\mathrm{e}^2-y^2}, & x < 0, \\ |x-y|, & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, y \geqslant 0\right\}$,计算二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$.
计算二重积分 $\iint_D\left[\frac{x^2-x y+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+(x-1) y^2\right] \mathrm{d} \sigma$, 其中 $D: x^2+y^2 \leqslant 2 x$, $y \geqslant 0$.
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x+y \geqslant 0\right\}$, 求 $\iint_D \frac{1+x y^2}{1+x^2+y^2} \mathrm{~d} \sigma$.
计算二重积分 $\iint_D \frac{(x-y)^2+2}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \geqslant 2, x \leqslant 1\right\}$.
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^2+y^2 \leq 3, x \geq 0\right\}$, 计算二重积分 $I=\iint_D \ln \left(1+x^2+y^2\right) \mathrm{d} \sigma$.
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^2+y^2 \leq 3, x \geq 0\right\}$, 计算二重积分 $I=\iint_D \ln \left(1+x^2+y^2\right) \mathrm{d} \sigma$.
设二元函数 $f(x, y)$ 连续, 且满足
$f(x, y)=x^2 \oint_L f(x, y) \mathrm{d} s+x y \iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma-1 \text { ， }
$
其中 $D$ 为圆周 $L: x^2+y^2=1$ 所围成的闭区域.
(1) 试求 $f(x, y)$ 的表达式;
(2) 试证明: $\oint_L y f(x, y) \mathrm{d} x+x f(x, y) \mathrm{d} y=\frac{\pi}{2} \oint_L f(x, y) \mathrm{d} s$ ，
其中 $L$ 为逆时针方向.