下列积分收敛的是 ( ).
$ \text{A.} $ $\int_1^2 \frac{\mathrm{d} x}{(\ln x)^3}$ $ \text{B.} $ $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2 x}{1+x^2} \mathrm{~d} x$ $ \text{C.} $ $\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln x}$ $ \text{D.} $ $\int_0^{+\infty} \frac{x^2}{x^4+x^2+\frac{1}{5} x} \mathrm{~d} x$
【答案】 D

【解析】 【参考解析】 (A)当 $1 < x < 2$ 时, $\frac{1}{(\ln x)^3} > \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{(\ln x)^3}$ , 而
$\int_1^2 \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^3}=\int_1^2 \frac{\mathrm{d} \ln x}{(\ln x)^3}=\left[-\frac{1}{2 \ln ^2 x}\right]_1^2=\infty$ 发散.
(B) $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2 x}{1+x^2} \mathrm{~d} x=\int_{-\infty}^0 \frac{2 x}{1+x^2} \mathrm{~d} x+\int_0^{+\infty} \frac{2 x}{1+x^2} \mathrm{~d} x$ $=\left[\ln \left(1+x^2\right)\right]_{-\infty}^0+\left[\ln \left(1+x^2\right)\right]_0^{+\infty}$
两个积分都发散,所以积分发散.
(C) $\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln x}=[\ln (\ln x)]_2^{+\infty}=\infty$ 发散
(D)因为 $\frac{x^2}{x^4+x^2+1} < \frac{x^2}{x^4+x^2}=\frac{1}{x^2+1}$, 而
$\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2+1} \mathrm{~d} x=\left.\arctan x\right|_0 ^{+\infty}=\frac{\pi}{2}$ 收敛,原积分收敛。
系统推荐