设 $f(x)=\int_0^{\sqrt{1+x}-1} \ln (1+t) \mathrm{d} t, g(x)=\int_0^{\sqrt{x}} \arcsin t \mathrm{~d} t$ ， 则当 $x \rightarrow 0$ 时，下列结论正确的是 ( ).
$\text{A.}$ $f(x)$ 是比 $g(x)$ 高阶的无穷小
$\text{B.}$ $f(x)$ 是比 $g(x)$ 低阶的无穷小
$\text{C.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 是同阶的无穷小，但不等价
$\text{D.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小