设 $f(x)=\int_0^{\sqrt{1+x}-1} \ln (1+t) \mathrm{d} t, g(x)=\int_0^{\sqrt{x}} \arcsin t \mathrm{~d} t$ , 则当 $x \rightarrow 0$ 时,下列结论正确的是 ( ).
$ \text{A.} $ $f(x)$ 是比 $g(x)$ 高阶的无穷小 $ \text{B.} $ $f(x)$ 是比 $g(x)$ 低阶的无穷小 $ \text{C.} $ $f(x)$ 与 $g(x)$ 是同阶的无穷小,但不等价 $ \text{D.} $ $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小
【答案】 A

【解析】 $$
\begin{aligned}
&\text { 【参考解析】 } \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{\sqrt{1+x}-1} \ln (1+t) \mathrm{d} t}{\int_0^{\sqrt{x}} \arcsin t \mathrm{~d} t} \\
&=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln [1+(\sqrt{1+x}-1)] \cdot(\sqrt{1+x}-1)^{\prime}}{\arcsin \sqrt{x} \cdot(\sqrt{x})^{\prime}} \\
&=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+x}-1) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x+1}}}{\sqrt{x} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}}=2 \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2 \sqrt{x+1}}\right)=0 .
\end{aligned}
$$
所以 $f(x)$ 是比 $g(x)$ 高阶的无穷小,即答案为 【 $\mathrm{A}$ 】.
系统推荐