设函数 $f(x)$ 连续,且
$\int_0^x t f(2 x-t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \arctan \left(x^2\right)$. 已知 $f(1)=1$ ,
求 $\int_1^2 f(x) \mathrm{d} x$ 的值.
【答案】 【参考解析】令 $u=2 x-t$ ,则 $t=2 x-u$ ,于是有 $\mathrm{d} t=-\mathrm{d} u, t=0, u=2 x ; t=x, u=x$, 于是积分
$$
\int_0^x t f(2 x-t) \mathrm{d} t=-\int_{2 x}^x(2 x-u) f(u) \mathrm{d} u
$$
$$
=2 x \int_x^{2 x} f(u) \mathrm{d} u-\int_x^{2 x} u f(u) \mathrm{d} u
$$
于是有
$$
2 x \int_x^{2 x} f(u) \mathrm{d} u-\int_x^{2 x} u f(u) \mathrm{d} u=\frac{1}{2} \arctan \left(x^2\right),
$$
对等式两端同时关于 $x$ 求导,于是有
$$
\begin{aligned}
&2 \int_x^{2 x} f(u) \mathrm{d} u+2 x \cdot[2 f(2 x)-f(x)]-4 x f(2 x)+x f(x) \\
&=\frac{x}{1+x^4}
\end{aligned}
$$
即 $\int_x^{2 x} f(u) \mathrm{d} u=\frac{1}{2}\left[\frac{\bar{x}}{1+x^4}+x f(x)\right]$ ,令 $x=1$ ,则有
$$
\int_1^2 f(u) \mathrm{d} u=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{1+1^4}+f(1)\right]=\frac{3}{4} .
$$


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