题号:2437    题型:解答题    来源:太原理工大学高等数学2021学年期末考试A卷真题
求曲线 $y=\ln x(2 \leq x \leq 6)$ 的一切线,使得该切线与直线 $x=2 , x=6$ 及曲线 $y=\ln x$ 围成 图形面积 $A$ 最小。
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答案:
设面积A达到最小值时点左边为 $(x_0,ln{x_0})$
切线方程 $y=\frac{1}{x_0} x+\ln x_0-1$
曲线方程 $y=\ln x .$

$

\begin{aligned}
&\therefore S=\int_2^6\left(\frac{1}{x_0} x+\ln x_0-1-\ln x\right) d x\\
&=\left[\frac{x^2}{2 x_0}+x \ln x_0-x-(\ln x-1) x\right]_2^6\\
&=\frac{18}{x_0}+6 \ln x_0-6-6 \ln 6+k-\frac{2}{x_0}-2 \ln x_0+2+2 \ln 2-2\\
&=\frac{16}{x_0}+4 \ln x_0-\ln 9\\
&\therefore \delta=\frac{16}{x_0}+4 \ln x_0-\ln 9 \text {. }\\
&s^{\prime}=\frac{4 x_0-16}{x_0^2} \quad x_0 \in[2,6]\\
\end{aligned}
$

令 $s'=0$, $x_0=4$
所以当 $x_0=4$时,S取得极小值

又$$\begin{aligned}
S(2) & > S(4) \\
S(6) & > S(4) .
\end{aligned}$$

所以,当$x_0=4$ 面积最新,此时切线方程为 $y=\frac{x}{4}+\ln 4-1$
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