函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x y \mathrm{e}^{\mathrm{e}^2-y^2}, & x < 0, \\ |x-y|, & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, y \geqslant 0\right\}$,计算二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$