【ID】2997 【题型】解答题 【类型】模拟考试 【来源】李林考研数学考前冲刺模拟卷1(数学二)
设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant 1-x, 0 \leqslant x \leqslant 1\}$, 计算 $I=\iint_D e^{\frac{x}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
答案:
解:区域 $D$ 如图 1-2 所示, 本题采用极坐标法. 将 $x+y=1$ 化为 $r=\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}$, 则


\begin{aligned}
I &=\iint_D \mathrm{e}^{\frac{x}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
&=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}} \mathrm{e}^{\frac{\cos \theta}{\cos \theta+\sin \theta}} r \mathrm{~d} r \\
&=\left.\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{\frac{\cos \theta}{\cos \theta+\sin \theta}} \cdot \frac{1}{2} r^2\right|_0 ^{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}} \mathrm{d} \theta \\
&=\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{\frac{\cos \theta}{\cos \theta+\sin \theta}} \cdot \frac{1}{(\cos \theta+\sin \theta)^2} \mathrm{~d} \theta \\
&=-\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{\frac{\cos \theta}{\cos \theta+\sin \theta}} \mathrm{d}\left(\frac{\cos \theta}{\cos \theta+\sin \theta}\right) \\
&=-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{\left.\frac{\cos \theta}{\cos \theta+\sin \theta}\right|_0 ^{\frac{\pi}{2}}}=\frac{1}{2}(\mathrm{e}-1) .
\end{aligned}

解析:

视频讲解

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