已知 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数, 则 $\int x f^{\prime}(2 x) \mathrm{d} x=$
$ \text{A.} $ $\frac{1}{4} x F^{\prime}(2 x)+\frac{1}{2} F(2 x)+C$. $ \text{B.} $ $\frac{1}{4} x F^{\prime}(2 x)-\frac{1}{2} F(2 x)+C$. $ \text{C.} $ $\frac{1}{2} x F^{\prime}(2 x)+\frac{1}{4} F(2 x)+C$. $ \text{D.} $ $\frac{1}{2} x F^{\prime}(2 x)-\frac{1}{4} F(2 x)+C$.
【答案】 D

【解析】 【解析】由题意知, $F^{\prime}(x)=f(x)$, 令 $2 x=t$, 得
$$
\begin{aligned}
\int x f^{\prime}(2 x) \mathrm{d} x &=\frac{1}{4} \int t f^{\prime}(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{4} \int t \mathrm{~d} f(t)=\frac{1}{4} t f(t)-\frac{1}{4} \int f(t) \mathrm{d} t \\
&=\frac{1}{4} t f(t)-\frac{1}{4} F(t)+C=\frac{1}{4} t F^{\prime}(t)-\frac{1}{4} F(t)+C=\frac{1}{2} x F^{\prime}(2 x)-\frac{1}{4} F(2 x)+C .
\end{aligned}
$$
故应选 (D).
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