设二元函数 $f(x, y)$ 连续, 且满足
$f(x, y)=x^2 \oint_L f(x, y) \mathrm{d} s+x y \iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma-1 \text { ， }
$
其中 $D$ 为圆周 $L: x^2+y^2=1$ 所围成的闭区域.
(1) 试求 $f(x, y)$ 的表达式;
(2) 试证明: $\oint_L y f(x, y) \mathrm{d} x+x f(x, y) \mathrm{d} y=\frac{\pi}{2} \oint_L f(x, y) \mathrm{d} s$ ，
其中 $L$ 为逆时针方向.