题号:2300    题型:解答题    来源:2019年华中科技大学《微积分(一)上》期末模拟考试
计算 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x-\sin x}{1+\cos x} d x$
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答案:
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\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x-\sin x}{1+\cos x} d x &=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1+\cos x} d x-\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos x} d x \\
&=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{2 \cos ^2 \frac{x}{2}} d x-\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} d x \\
&=\left.x \tan \frac{x}{2}\right|_0 ^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} d x-\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} d x \\
&=\frac{\pi}{2}+\left.4 \ln \left|\cos \frac{x}{2}\right|\right|_0 ^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}-\ln 4 .
\end{aligned}
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