题号:2795    题型:解答题    来源:2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试(数学三卷)
计算 $\iint_D \frac{1-x^2 y^3}{\left(x+\sqrt{1-y^2}\right)^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1,-x \leqslant y \leqslant x\right\}$.
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答案:
记 $D_1$ 为 $D$ 在 $x$ 轴上方的部分, 如图所示, 则由对称性, 得
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\begin{aligned}
& \iint_D \frac{1-x^2 y^3}{\left(x+\sqrt{1-y^2}\right)^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_D \frac{1}{\left(x+\sqrt{1-y^2}\right)^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y-\iint_D \frac{x^2 y^3}{\left(x+\sqrt{1-y^2}\right)^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
=& 2 \iint_{D_1} \frac{1}{\left(x+\sqrt{1-y^2}\right)^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y-0=2 \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_y^{\sqrt{1-y^2}} \frac{1}{\left(x+\sqrt{1-y^2}\right)^2} \mathrm{~d} x \\
=&-\left.2 \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{x+\sqrt{1-y^2}}\right|_{x=y} ^{x=\sqrt{1-y^2}} \mathrm{~d} y=-\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \mathrm{~d} y+2 \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{y+\sqrt{1-y^2}} \mathrm{~d} y
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&=-\left.2 \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{x+\sqrt{1-y^2}}\right|_{x=y} ^{x=\sqrt{1-y^2}} \mathrm{~d} y=-\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \mathrm{~d} y+2 \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{y+\sqrt{1-y^2}} \mathrm{~d} y \\
&=-\left.\arcsin y\right|_0 ^{\frac{\sqrt{2}}{2}}+2 \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{y+\sqrt{1-y^2}} \mathrm{~d} y=-\frac{\pi}{4}+2 \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{y+\sqrt{1-y^2}} \mathrm{~d} y \\
&y=\sin t \\
&=\frac{\pi}{4}+2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos t}{\sin t+\cos t} \mathrm{~d} t
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&=-\frac{\pi}{4}+\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{(\sin t+\cos t)+(\cos t-\sin t)}{\sin t+\cos t} \mathrm{~d} t \\
&=\left.\ln (\sin t+\cos t)\right|_0 ^{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{2} \ln 2 .
\end{aligned}
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