计算定积分 $\int_{-1}^1 \frac{2 x^2+x \cos x}{1+\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$.
【答案】 【参考解析】 $\int_{-1}^1 \frac{2 x^2+x \cos x}{1+\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$
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=\int_{-1}^1 \frac{2 x^2}{1+\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x+\int_{-1}^1 \frac{x \cos x}{1+\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x
$$
由于 $\frac{2 x^2}{1+\sqrt{1-x^2}}$ 偶函数, $\frac{x \cos x}{1+\sqrt{1-x^2}}$ 奇函数,所以有
$$
\begin{aligned}
&I=\int_{-1}^1 \frac{2 x^2+x \cos x}{1+\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x=4 \int_0^1 \frac{x^2}{1+\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x\left(^*\right) \\
&=4 \int_0^1 \frac{x^2\left(1-\sqrt{1-x^2}\right)}{x^2} \mathrm{~d} x=4 \int_0^1 \mathrm{~d} x-4 \int_0^1 \sqrt{1-x^2} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$
由定积分的几何意义,第二个积分为第一象限单位圆面积,所 以积分为 $\frac{\pi}{4}$. 所以有
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\int_{-1}^1 \frac{2 x^2+x \cos x}{1+\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x=4-4 \cdot \frac{\pi}{4}=4-\pi .
$$


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