以下说法正确的是( ).
$ \text{A.} $ 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有定义,则 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积 $ \text{B.} $ 如果 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积,则 $\Phi(x)=\int_a^x f(t) \mathrm{d} t$, $x \in[a, b]$ 可导 $ \text{C.} $ 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续, $c \in(a, b)$ ,则 $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_c^x f(t) \mathrm{d} t=f(x) $ $ \text{D.} $ 如果 $f(x)$ 是定义在区间 $[-a, a](a > 0)$ 上的奇函数,则 $ \int_{-a}^a f(t) \mathrm{d} t=0$
【答案】 C

【解析】 【参考解析】 (A) 不一定成立,比如狄利克雷函数 $D(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \in Q, \\ 0, x \in R-Q\end{array}\right.$ 在全体实数范围内有定理,但是在任 何区间上都不可积.
(B) 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积,则 $c \in(a, b)$ ,则 $\Phi(x)=\int_c^x f(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b]$ 连续,但是不一定可导. 比如 取区间 $[a, b]=[0,2], f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x, x < 1 \\ x, x \geq 1,\end{array}\right.$ 则 当 $0 \leq x < 1$ 时, $F(x)=\int_0^x(-t) \mathrm{d} t=-\frac{x^2}{2}$ ; 当 $1 \leq x \leq 2$ 时,
$$
\begin{aligned}
F(x) &=\int_0^x(-t) \mathrm{d} t=\int_0^1(-t) \mathrm{d} t+\int_1^x t \mathrm{~d} t \\
&=-\frac{1}{2}+\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}=\frac{x^2}{2}-1
\end{aligned}
$$
函数 $F(x)$ 在 $x=1$ 处连续,但是在该点处左右导数不相等, 所以不可导.
(C) 由于函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续,所以在区间 $[a, b]$ 上存 在原函数,设原函数为 $F(x)$ ,即 $F^{\prime}(x)=f(x)$ , 由于 $c \in(a, b)$ ,所以 $\int_c^x f(t) \mathrm{d} t=F(x)-F(c)$ ,从而
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_c^x f(t) \mathrm{d} t=[F(x)-F(c)]_x^{\prime}=F^{\prime}(x)=f(x) .
$$
(D) 因仅 $f(x)$ 在区间 $[-a, a](a > 0)$ 上有定义,函数不一定可 导,所以积分不一定存在,也不一定有 $\int_{-a}^a f(t) \mathrm{d} t=0$ 成立.
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