题号:2430    题型:解答题    来源:太原理工大学高等数学2021学年期末考试A卷真题
计算 $\int x \arctan x d x$.
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答案:
令 $u=\arctan x \quad v^{\prime}=x \quad v=\frac{1}{2} x^2$


$\int x \arctan x d x=\frac{1}{2} x^2 \cdot \arctan x-\int \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{1}{2} x^2 d x$ $=\frac{1}{2} x^2 \cdot \arctan x-\frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} d x$ $=\frac{1}{2} x^2 \arctan x-\frac{1}{2} \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} d x$
$=\frac{1}{2} x^2 \arctan x-\frac{1}{2} \int d x+\frac{1}{2} \int \frac{d x}{1+x^2}$
$=\frac{1}{2} x^2 \arctan x-\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \arctan x$
$=\frac{1}{2} \arctan x\left(x^2+1\right)-\frac{x}{2}+C$
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