$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots+\frac{n-1}{n^2}\right)=$
【答案】 $\frac{1}{2}$

【解析】 原式 $=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{n^2}$
$$
=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{n}=\int_0^1 x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} .
$$
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