设二元函数 $z=z(x, y)$ 的全微分为
$$
\mathrm{d} z=\left(2 x y^3+a \mathrm{e}^y \sin x\right) \mathrm{d} x+\left(3 x^2 y^2+\mathrm{e}^y \cos x\right) \mathrm{d} y,
$$
其中 $a$ 为常数, 则 $z(x, y)$ 在点 $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$ 处沿各个方向的方向导数的最大值为
【答案】 1

【解析】 记 $P=2 x y^3+a \mathrm{e}^y \sin x, Q=3 x^2 y^2+\mathrm{e}^y \cos x, \frac{\partial Q}{\partial x}=6 x y^2-\mathrm{e}^y \sin x, \frac{\partial P}{\partial y}=6 x y^2+$ $a \mathrm{e}^y \sin x$, 由题意知 $a=-1$, 梯度
$$
\left.\operatorname{grad} z\right|_{\left(\frac{\pi}{4} \cdot 0\right)}=\left.\left\{2 x y^3-\mathrm{e}^y \sin x, 3 x^2 y^2+\mathrm{e}^y \cos x\right\}\right|_{\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)}=\left\{-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right\} .
$$
由梯度的性质知, 所求 $z(x, y)$ 在点 $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$ 处沿各个方向的方向导数的最大值即为1
系统推荐