一、单选题 （共 5 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
累次积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^{2 \cos \theta} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho d \rho$ 等于
$\text{A.}$ $\int_0^1 d y \int_y^{1-\sqrt{1-y^2}} f(x, y) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^2 d x \int_0^{\sqrt{2 x-x^2}} f(x, y) d y$
$\text{C.}$ $\int_0^2 d \rho \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) d \theta$
$\text{D.}$ $\int_0^{\sqrt{2}} d \rho \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho d \theta+\int_{\sqrt{2}}^2 d \rho \int_0^{\arccos \frac{\rho}{2}} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho d \theta$
设 $D$ 是以 $A(1,1), B(-1,1), C(-1,-1)$ 为三顶点的三角形, 则 $I=$ $\iint_D\left[\sin (x y) \sqrt{x^2+3 y^2+1}+3 x+3 y\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 0
设 $I_1=\iint_D \sin \left|\frac{x-y}{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_D \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_3=\iint_D \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D=$ $\left\{(x, y) \mid(x-1)^2+(y-1)^2 \leqslant 2\right\}$, 则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{C.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
设平面区域 $D$ 是由 $y=x, x=1$ 及 $x$ 轴所围成，二重积分 $\iint_D \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} d \sigma$ 转换成平面极坐标系下的二次积分，可表示为?
$\text{A.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta}} 1 d r$
$\text{B.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta}} 1 d r$
$\text{C.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^{\frac{1}{\sin\theta}} 1 d r$
$\text{D.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^{\frac{1}{\sin\theta}} 1 d r$
函数 $f(x, y)$ 连续，交换二重积分 $\int_0^1 d y \int_y^{\sqrt{y}} f(x, y) d x$ 次序，该二重积分可表示为?
$\text{A.}$ $\int_0^1 d x \int_{x^3}^x f(x, y) d y$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d x \int_{x^4}^x f(x, y) d y$
$\text{C.}$ $\int_0^1 d x \int_{x^2}^x f(x, y) d y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d x \int_{x^5}^x f(x, y) d y$
二、填空题 （共 10 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\int_0^\pi d \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta}} \rho^2 d \rho+\int_1^{\sqrt{2}} d x \int_0^{\sqrt{2-x^2}} \sqrt{x^2+y^2} d y=$
$\int_0^1 d y \int_y^1 x \sqrt{2 x y-y^2} d x=$
$ \lim _{n \rightarrow \infty} \dfrac{\sqrt[n]{2}-1}{\sqrt[n]{2 n+1}}\left[\int_1^{\frac{1}{2 n}} e^{-y^2} d y+\int_1^{\frac{3}{2 n}} e^{-y^2} d y+\cdots+\int_1^{\frac{2n-1}{2 n}} e^{-y^2} d y\right]= $
设 $D$ 是由 $0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1$ 所确定的平面区域, 则
$$
\iint_D \sqrt{x^2+y^2} d x d y=
$$
计算积分 $ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} d \theta \int_0^{2 \sin \theta}\left[\sin \theta+\cos \theta \sqrt{1+r^2 \sin ^2 \theta}\right] r^2 d r $
设 $f(x, y)$ 满足 $f(x, 1)=0, f_y^{\prime}(x, 0)=\sin x, f_{y y}^{\prime \prime}(x, y)=2 x$, 则 $f(x, y)=$
若 $\int_0^x f(t) \mathrm{d} t=x \mathrm{e}^{-x}$, 则 $\int_1^{+\infty} \frac{f(\ln x)}{x} \mathrm{~d} x=$
$\int_0^1 \ln (1+\sqrt{x}) \mathrm{d} x=$ ________ .
设 $D: 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1, \operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{cl}1, & x>0, \\ 0, & x=0, \\ -1, & x < 0,\end{array}\right.$ 则 $\iint_D \max \{x, y\} \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
已知 $f(x, y)=x y+x^2 y \iint_D x y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D: y=x, y=0, x=1$ 所围成区域, 则
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=
$$
三、解答题 （ 共 25 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D: x^2+y^2 \leq 1$ 上有二阶连续 偏导数，且
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} .
$$
计算 $\iint_D\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
计算三重积分 $I=\iiint_{\Omega} \frac{\mathrm{d} V}{\left(1+x^2+y^2+z^2\right)^2}$ ，其中 $\Omega$ 为 $0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,0 \leq z \leq 1$.
计算三重积分 $\iiint_{\Omega} x^3 y^2 z d V ， \Omega$ 为马鞍面 $z=x y$ 与平面 $y=x, x=1, z=0$ 所包 围的空间区域。
求二重积分 $I=\iint_D\left|x^2+y^2-4\right| d x d y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 16\right\}$ 。
设 $D$ 是由 $y=x^3, y=-c^3, x=-c(c \neq 0)$ 围成的积分区域,且 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的连续函数, 求二重积分
$$
\iint_D x(1+y f(1+|\sin x|+\cos y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
求曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} 4 x z d y d z-2 y z d z d x+\left(1-z^2\right) d x d y$其中 $\sum$ 是由 $z=e^y(0 \leqslant y \leqslant 1)$ 绕$z$轴旋转一周得到的曲面，方向取下侧。
计算二重积分$\iint_D \sin \left(\max \left\{x^2, y^2\right\}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,$ 其中区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x, y \leq \sqrt{\pi}\}$.
求三重积分 $\iiint_{\Omega} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 为平面 $x+2 y+z=1, x=0, y=0, z=0$ 围成的区域.
求 $\iint_D|3 x+4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$.
计算二重积分: $\iint_D \frac{\sin y \cos y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为直线 $y=x$与抛物线 $x=y^2$ 所围成的封闭区域.
计算含参量反常积分: $\int_0^{+\infty} \frac{\sin (x y)}{y \cdot e^y} \mathrm{~d} y$.
$\iint_D\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}} d x d y$, 其中积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, x \geq 0\right\}$.
$z=f\left(x^2-y^2, e^{x y}\right)$, 其中 $f$ 具有连续二阶偏导数, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
计算 $\iint_D y\left(1+x \mathrm{e}^{\frac{x^2+y^3}{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中平面区域 $D$ 由直线 $y=x, y=-1$ 及 $x=1$ 所围成.
计算 $\iint_D\left|y-x^2\right| \max \{x, y\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中
$D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\} .$
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant R^2\right\}$, 计算 $\iint_D\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
计算二重积分 $I=\iint_D r^2 \sin \theta \sqrt{1-r^2 \cos 2 \theta} \mathrm{d} r \mathrm{~d} \theta$, 其中
$$
D=\left\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant r \leqslant \sec \theta, 0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{4}\right\} .
$$
计算 $I=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x}} \frac{x+y}{x^2+y^2} \mathrm{~d} y$.
计算 $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^x \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y+\int_2^4 \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^2 \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y$.
设 $f(x)=\int_x^1 \sin \left(\pi u^2\right) \mathrm{d} u$, 求 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$.
计算 $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$.
设 $\Omega \subset \mathbf{R}^3$ 是有界闭区域, $I(\Omega)=\iiint_{\Omega}\left(x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 取得最小值的积分域记为 $\Omega_1$.
(I) 求 $I\left(\Omega_1\right)$ 的值;
(II) 计算 $\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^2+2 y^2+3 z^2\right)^{\frac{3}{2}}}$, 其中 $\Sigma$ 是 $\Omega_1(z \geqslant 0)$ 的上侧边界.
计算二重积分， $I=\iint_D(x+2 y) d \sigma$ ，其中 $D$ 为 $x^2+y^2=2 x$ 所围成的区域
计算二重积分， $I=\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} d y \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{y}} e^{\frac{y}{x}} d x+\int_{\frac{1}{2}}^1 d y \int_y^{\sqrt{y}} e^{\frac{y}{x}} d x$
计算二重积分 $\iint_D \frac{r \cos \theta(1+r \sin \theta) \mathrm{e}^{-(\cos \theta+\sin \theta)}}{\cos \theta+\sin \theta} \mathrm{d} \theta \mathrm{d} r$, 其中 $D=\left\{(r, \theta) \mid r>0,0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right\}$.