2022《高等数学A》下册期末考试模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

计算 $\iint_{\Sigma}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} S$, 其中 $\Sigma: z=\sqrt{x^2+y^2}(0 \leq z \leq 4)$.

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答案：

解:
$$
\begin{aligned}
& \iint_{\Sigma}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} S=\iint_D\left(x^2+y^2\right) \cdot \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =\sqrt{2} \iint_D\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\sqrt{2} \iint_D r^3 \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta \\
& =\sqrt{2} \int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^4 r^3 \mathrm{~d} r \\
& =128 \sqrt{2} \pi \\
&
\end{aligned}
$$

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