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试卷12

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 7 题），每题只有一个选项正确

1. 1.设

D = {(x, y) | x ² + y ² \leq 4, x \geq 0, y \geq 0}

, 且

a > 0

b > 0

,则

I = \iint_{D} \frac{a e^{x^{2}} + b e^{y^{2}}}{e^{x^{2}} + e^{y^{2}}} d σ = \underset{―}{}

A.

\frac{(a + b)}{4} π

B.

\frac{(a + b)}{3} π

C.

\frac{(a + b)}{2} π

D.

(a + b) π

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2. 设

D = {(x, y) | x + y \leq 1, x \geq 0, y \geq 0}

,令

I = \iint_{D} \sqrt{x^{2} + y^{2}} d x d y

J = \iint_{D} \ln (1 + x^{2} + y^{2}) d x d y

K = \iint_{D} (x^{2} + y^{2}) d x d y

, 则

A.

I < J < K

B.

J < K < I

C.

J < I < K

D.

K < J < I

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\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{\cos θ} r^{2} \cos θ f (r) d r = \underset{―}{}

A.

\int_{0}^{1} x d x \int_{x}^{1} f (x, y) d y

B.

\int_{0}^{1} x d x \int_{0}^{x} f (x, y) y

C.

\int_{0}^{1} x d x \int_{0}^{x} f (\sqrt{x^{2} + y^{2}}) d y

D.

\int_{0}^{1} x d x \int_{x}^{1} f (\sqrt{x^{2} + y^{2}}) d y

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4. 设

D

是由

A (π, π)

、

B (- π, π)

、

C (- π, - π)

三点构成的三角形区域,则

\iint_{D} (x y + \sin x \cos y) d x d y = \underset{―}{}

A.

- π

B.

π

C.

\frac{π}{2}

D.

0

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5. 设

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq R^{2}}

, 则

\iint_{D} \sqrt{x^{2} + y^{2}} d σ =

A.

π R^{3}

B.

\frac{2 π R^{3}}{3}

C.

π R^{2}

D.

2 π R^{2}

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6. 设函数

f (x) = \iint_{u^{2} + v^{2} ⩽ x^{2}} \arctan (1 + \sqrt{u^{2} + v^{2}}) d u d v (x > 0)

, 则

lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x)}{e^{- 2 x} - 1 + 2 x} =

A.

- \frac{π^{2}}{8}

B.

- \frac{π^{2}}{4}

C.

\frac{π^{2}}{4}

D.

\frac{π^{2}}{8}

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7. 设

f

是连续函数, 积分区域

D : x^{2} + y^{2} \leq 1

且

y \geq 0

, 则

\iint_{D} f (\sqrt{x^{2} + y^{2}}) d x d y

可化为

A.

π \int_{0}^{1} r f (r) d r

B.

2 π \int_{0}^{1} r f (r) d r

C.

2 π \int_{0}^{1} f (r) d r

D.

π \int_{0}^{1} f (r) d r

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二、填空题（共 14 题），请把答案直接填写在答题纸上

8. (1)

lim_{m \to \infty} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} \frac{n}{(m + i) (n^{2} + j^{2})} = \underset{―}{}

.
(2)

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{i}{n^{3}} \sin^{2} \frac{2 π j}{n} = \underset{―}{}

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9. 设

D = {(x, y) | - 1 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1}

, 则

\iint_{D} [x^{2} y + y \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})] d x d y = \underset{―}{}

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10. 设

D = {(x, y) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1}

,则

\iint_{D} \sqrt{| x - y |} d x d y = \underset{―}{}

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11. 设

D = {(x, y) | x ² + y ² \leq 4}

,则

\iint_{D} (x + 2 y)^{2} d x d y = \underset{―}{}

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12. 5.设区域

D = {(x, y) | - π \leq x \leq π, 0 \leq y \leq | x |}

, 则

\iint_{D} (\sin^{2} x + x y^{3}) d x d y = \underset{―}{}

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13. 设

D = {(x, y) | x^{2} + y^{2} \leq 2 x}

, 则

\iint_{D} (x^{2} + x y) d x d y = \underset{―}{}

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14. 改变积分次序

\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{\sqrt{x}} f (x, y) d y = \underset{―}{}

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15.

\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{1} e^{x^{2}} d x = \underset{―}{}

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16. 设

f (u)

连续,

f (0) = 0

f^{'} (0) = 1

,且

D = {(x, y) | x^{2} + y^{2} \leq t^{2}} (t > 0)

, 则

lim_{t \to 0^{+}} \frac{\iint_{0}^{1} f (\sqrt{x^{2} + y^{2}}) d x d y}{\tan t - t}

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17. 设区域

D

由

y = \sqrt{2 x - x^{2}}

与

x

轴围成，

f (x, y) = x y - \iint_{D} f (x, y) d x d y

, 则

f (x, y) = \underset{―}{}

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18. 二元函数

z = \ln (y^{2} - 2 x + 1)

的定义域为

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19. 二重积分

\iint_{D} \sin (max {x^{2}, y^{2}}) d x d y =

其中

D = [0, \sqrt{π}] \times [0, \sqrt{π}] .

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20. 交换积分次序后

\int_{0}^{1} d y \int_{- \sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f (x, y) d x =

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21. 二次积分

\int_{1}^{4} d x \int_{x}^{4} \frac{1}{x \ln y} d y

的值为

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三、解答题（共 19 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

22. 计算

\iint_{D} x y^{2} d x d y

, 其中区域D由

y = x

、

x + y = 1

及

x

轴围成.

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23. 设区域

D

由

y = x

与

y = \sqrt{x}

所围成，求

\iint_{D} \frac{\sin y}{y} d x d y

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24. 求

\iint_{D} max {x y, 1} d x d y

, 其中

D = {(x, y) | 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 2}

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25. 设

D = {(x, y) \leq 1, 0 \leq y \leq \sqrt{1 - x^{2}}}

, 求

\iint_{D} | x - y | d x d y

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26. 设区域

D = {(x, y) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1}

,求

\iint_{D} \sqrt{| y - x^{2} |} d x d y

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27. 设

D

由

x^{2} + y^{2} = 2 x

所围成,计算

I = \iint_{D} (x^{2} + \cos x \sin y) d x d y

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28. 设区域

D = (x, y) | x^{2} + y^{2} \leq 1

, ，计算

I = \iint_{D} (x - 2 y)^{2} d x d y

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29. 求

\int_{0}^{2} d x \int_{x}^{2} e^{- y^{2}} d y

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30. 计算

\iint_{D} \frac{x}{x^{2} + y^{2}} d x d y

, 其中

D = (x, y) | x + y \geq 1, x^{2} + y^{2} \leq 1

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31. 设函数

f (u)

连续,且

f (0) = 0

f^{'} (0) = 2

, 求

lim t \to 0^{+} \frac{\iint_{x^{2} + y^{2} \leq t^{2}} f (x^{2} + y^{2}) d x d y}{(\arcsin t - t) \ln (1 + 2 t)}

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32. 交换二次积分

I = \int_{0}^{\sqrt{π}} d x \int_{x}^{\sqrt{π}} \sin y^{2} d y

的次序, 并且求出

I

的值.

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33. 计算

\iint_{Σ} x^{3} d y d z + y^{3} d x d z

, 其中

Σ

为圆柱面

x^{2} + y^{2} = R^{2}

介于平面

z = 0

和

z = h

之间部分的外侧.

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34. 求解

\iint_{Σ} \frac{x d y d z + y d z d x + z d x d y}{{(\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}})}^{3}}

, 其中

Σ : x^{2} + y^{2} + \frac{z^{2}}{2} = 1

当中

z ⩾ - \frac{1}{2}

的部分, 取外侧。

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35. 计算二重积分

\iint_{D} \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}} d x d y

, 其中

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1, x + y \geq 1}

。

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36. 抛物面

z = x^{2} + y^{2}

被平面

x + y + z = 1

截成一椭圆, 求原点到这椭圆的最长与最短距离。

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37. 计算二重积分

\iint_{D} | y^{2} - x^{2} | d σ

，其中

D = {(x, y) ∣ x \in [- 1, 1], y \in [0, 2]} .

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38. 设函数

f (x)

具有二阶连续导数，且

f (0) = 1, f^{'} (0) = 1 .

假设对任意光滑闭曲面

Σ

，恒有

\oint_{Σ} [f^{'} (x) + x^{2}] d y d z + (z + 1) f (x) d x d y = 0 .

试求

f (x)

的表达式.

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39. 计算二重积分

I = \iint_{D} x d x d y

, 其中

D

由

y = \sqrt{1 - x^{2}}, y = \sqrt{2 x - x^{2}}

与

x

轴所围成的区域.

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40. 设

D = {(x, y) : x^{2} + y^{2} \leq 1}

, 实数

α, β

满足

α^{2} + β^{2} = 1

, 计算二重积分

\iint_{D} \frac{d x d y}{\sqrt{(1 - α x + β y)^{2} + (β x + α y)^{2}}} .

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