2021高等数学《微积分》摸底测试与答案-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

计算 $\iint_{\Sigma} x^3 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$, 其中 $\Sigma$ 为圆柱面 $x^2+y^2=R^2$ 介于平面 $z=0$ 和 $z=h$ 之间部分的外侧.

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答案：

解设 $\Sigma_1: z=0\left(x^2+y^2 \leq R^2\right)$, 方向向下, $\Sigma_2: z=h\left(x^2+y^2 \leq R^2\right)$, 方向向上,
则 $\iint_{\Sigma} x^3 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma+\Sigma_1+\Sigma_2}-\iint_{\Sigma_1}-\iint_{\Sigma_2}$
其中 $\int_{\Sigma+\Sigma_1+\Sigma_2} x^3 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z=3 \iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} v$

$$
\begin{aligned}
= & \int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^R \mathrm{~d} r \int_0^h r^3 \mathrm{~d} z=\frac{1}{2} \pi R^4 h \\
& \iint_{\Sigma_1}=\iint_{\Sigma_2}=0
\end{aligned}
$$
所以 $\iint_{\Sigma} x^3 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z=\frac{1}{2} \pi R^4 h$

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