2021高等数学《微积分》摸底测试与答案-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

交换二次积分 $I=\int_0^{\sqrt{\pi}} \mathrm{d} x \int_x^{\sqrt{\pi}} \sin y^2 \mathrm{~d} y$ 的次序, 并且求出 $I$ 的值.

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答案：

解：
$$
\begin{aligned}
I & =\int_0^{\sqrt{\pi}} \mathrm{d} x \int_x^{\sqrt{\pi}} \sin y^2 \mathrm{~d} y=\int_0^{\sqrt{\pi}} \mathrm{d} y \int_0^y \sin y^2 \mathrm{~d} x \\
& =\int_0^{\sqrt{\pi}} y \sin y^2 \mathrm{~d} y \\
& =\frac{1}{2} \int_0^{\sqrt{\pi}} \sin ^2 \mathrm{~d}\left(y^2\right) \text { ( } 7 \text { 分) }=-\left.\frac{1}{2} \cos y^2\right|_0 ^{\sqrt{\pi}}=1
\end{aligned}
$$

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