2023年武汉理工大学数学分析考研真题及参考解答-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

求二重积分 $\iint_D \frac{\mathrm{d} \sigma}{\sqrt{x+y+4}}$, 其中
$$
D=\{(x, y):|x|+|y| \leq 1\} .
$$

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我来讲解

答案：

设 $x+y=u, x-y=v$ ，则 $\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|=2$ ，则
$$
\begin{aligned}
\iint_D \frac{\mathrm{d} \sigma}{\sqrt{x+y+4}} & =\int_{-1}^1 \mathrm{~d} u \int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{u+4}} \cdot \frac{1}{2} \mathrm{~d} v \\
& =\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{u+4}} \mathrm{~d} u=2(\sqrt{5}-\sqrt{3})
\end{aligned}
$$

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