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gzsx9

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 28 题），每题只有一个选项正确

1. 设点

P

在曲线

y = \frac{1}{2} e^{x}

上, 点

Q

在曲线

y = \ln (2 x)

上, 则

| P Q |

最小值为 ( )

A.

1 - \ln 2

B.

\sqrt{2} (1 - \ln 2)

C.

1 + \ln 2

D.

\sqrt{2} (1 + \ln 2)

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2. 我国航天技术的迅猛发展与先进的运载火箭技术密不可分.据了解, 在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下, 可以用公式

v = v_{0} \ln \frac{M}{m}

计算火箭的最大速度

v (m / s)

, 其中

v_{0} (m / s)

是喷流相对速度,

m (kg)

是火箭 (除推进剂外) 的质量,

M (kg)

是推进剂与火箭质量的总和,

\frac{M}{m}

称为“总质比”. 已知甲型火箭的总质比为 400 , 经过材料更新和技术改进后, 甲型火箭的总质比变为原来的

\frac{1}{8}

, 喷流相对速度提高了

\frac{2}{3}

, 最大速度增加了

900 (m / s)

, 则甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为

()

. （参考数据:

\ln 2 \approx 0.7, \ln 5 \approx 1.6

)

A.

1200 m / s

B.

1500 m / s

C.

1800 m / s

D.

2100 m / s

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3. 若

a = {1.01}^{0.5}, b = {1.01}^{0.6}, c = {0.6}^{0.5}

, 则

a, b, c

的大小关系为

A.

c > a > b

B.

c > b > a

C.

a > b > c

D.

b > a > c

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4. 下列函数中, 最小值为 2 的是

A.

y = x + \frac{2}{x}

B.

y = \frac{x^{2} + 3}{\sqrt{x^{2} + 2}}

C.

y = e^{x} + e^{- x}

D.

y = \sin x + \frac{1}{\sin x} (0 < x < \frac{π}{2})

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5. 已知实数

a, b

满足等式

{(\frac{1}{2})}^{a} = {(\frac{1}{3})}^{b}

, 则下列不可能成立的有

A.

a = b

B.

0 > b > a

C.

b > a > 0

D.

0 > a > b

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6. 某企业在生产中为倡导绿色环保的理念, 购人污水过滤系统对污水进行过滤处理, 已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量

N (mg / L)

与时间

t (h)

的关系为

N = N_{0} e^{- k t}

, 其中

N_{0}

为初始污染物的数量,

k

为常数. 若在某次过滤过程中, 前 2 个小时过滤掉了污染物的

30 %

, 则可计算前 6 小时共能过滤掉污染物的

A.

49 %

B.

51 %

C.

65.7 %

D.

72.9 %

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C_{0}

表示生物体内碳14的初始质量,经过

t

年后碳14剩余质量

C (t) = C_{0} {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{h}} (t > 0, h

为碳 14 的半衰期). 现测得一古墓内某生物体内碳 14 含量为

0.4 C_{0}

, 据此推算该生物是距今多少年前的生物 (参考数据:

\lg 2 \approx 0.301

). 正确选项是（　　）

A.

1.36h

B.

1.34h

C.

1.32h

D.

1.30h

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8. 设函数

f (x) = \sqrt{3} \cos ω x + \sin ω x

, 且函数

g (x) = [f (x)]^{2} - 4

在

x \in [0, 5 π]

恰好有 5 个零点,则正实数

ω

的取值范围是

A.

[\frac{13}{15}, \frac{16}{15})

B.

[\frac{5}{6}, \frac{31}{30})

C.

[\frac{11}{15}, \frac{14}{15})

D.

[\frac{23}{30}, \frac{29}{30})

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9. 下列方程中不能用二分法求近似解的为

A.

\ln x + x = 0

B.

e^{x} - 3 x = 0

C.

x^{3} - 3 x + 1 = 0

D.

4 x^{2} - 4 \sqrt{5} x + 5 = 0

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10. 已知函数

f (x) = x^{2} - 2 x + a (e^{x - 1} + e^{- x + 1}) + \cos (x - 1) - 1

有唯一零点, 则

a =

A.

\frac{1}{2}

B.

C.

- \frac{1}{3}

D.

\frac{1}{3}

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11.

f (x) = 2 e^{x} - 5 x^{2}

的零点的个数为

A.

B.

C.

D.

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12. 已知函数

f (x) = e^{x - 1} - e^{1 - x} + x^{3} - 3 x^{2} + 3 x

, 若实数

x, y

满足

f (x^{2}) + f (2 y^{2} - 1) = 2

, 则

x \sqrt{1 + y^{2}}

的最大值为

A.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

B.

\frac{3 \sqrt{2}}{4}

C.

\frac{5 \sqrt{2}}{4}

D.

\frac{5 \sqrt{3}}{4}

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13. 设实数

t > 0

, 若

t e^{2 t x} - \ln 2 x ⩾ 0

对

x > 0

恒成立, 则

t

的取值范围为

A.

[\frac{1}{2 e}, + \infty)

B.

[\frac{1}{e}, + \infty)

C.

(0, \frac{1}{e}]

D.

(0, \frac{1}{2 e}]

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14. 若函数

f (x) = \ln (x^{2} - a x)

在区间

(2, 5)

上单调递增, 则实数

a

的取值范围是

A.

(- \infty, 5]

B.

(- \infty, 2)

C.

(- \infty, 2]

D.

[5, + \infty)

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15. 函数

f (x) = \log_{3} x + x - 5

的零点所在的区间为

A.

(2, 3)

B.

(3, 4)

C.

(4, 5)

D.

(5, 6)

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16. 若存在

a \in R

, 使得对于任意

x \in [\frac{1}{e}, e]

, 不等式

\ln x \leq a x^{2} + b x \leq (e^{2} - 2 e) \ln x + e

恒成立, 则实数

b

的最小值为

A.

- \frac{e^{3} + e + 1}{e^{2} - 1}

B.

- \frac{e^{2} + e}{e^{2} - 1}

C.

- 1

D.

- e

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17. 曲线

f (x) = e^{x} + a x

在点

(0, 1)

处的切线与直线

y = 2 x

平行, 则

a =

A.

-2

B.

-1

C.

D.

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18. 函数

f (x) = 2^{x} + x^{3} - 9

的零点所在区间为

A.

(0, 1)

B.

(1, 2)

C.

(2, 3)

D.

(3, 4)

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19. 将函数

f (x) = {\begin{matrix} x e^{x}, x \leq 0 \\ \ln x - x + 1, x > 0 \end{matrix}

向下平移

m (m \in R)

个单位长度得到

g (x)

. 若

g (x)

有两个零点

x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})

, 则

x_{1} + x_{2}

的值不可能是

A.

B.

e^{2} - \frac{1}{e}

C.

e^{- \frac{1}{e}} + 1

D.

e^{- \frac{1}{e}} - 1

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20. 设

x > 0

, 函数

y = x^{2} + x - 7, y = 2^{x} + x - 7, y = \log_{2} x + x - 7

的零点分别为

a, b, c

, 则

A.

a < b < c

B.

b < a < c

C.

a < c < b

D.

c < a < b

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21. 设

x_{1}, x_{2}

是函数

f (x) = x^{3} + a x^{2} + x + 1

的两个极值点, 若

x_{1} + 3 x_{2} = - 2

, 则

a =

A.

B.

C.

D.

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22. 已知

f (x) = a e^{x - 1} - \ln x + \ln a, g (x) = (1 - e) x

, 当

x > 0

时,

e f (x) \geq g (x)

, 则

a

的取值范围为

A.

(\frac{1}{e}, 1)

B.

(\frac{1}{e}, + \infty)

C.

(1, + \infty)

D.

(e, + \infty)

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23. 设函数

f (x) = x^{2} - \frac{1}{2}, f^{'} (x)

是

f (x)

的导数, 则函数

g (x) = f^{'}

(

x) \cos x

的部分图象可以为

A.

B.

C.

D.

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24. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 4 x + 2, x ⩽ 0 \\ \frac{e \ln x}{x}, x > 0 \end{cases}

, 若函数

g (x) = f (x) -

3 m

有 4 个不同的零点, 则

m

的取值范围是

A.

(0, \frac{2}{3})

B.

(- \frac{2}{3}, \frac{2}{3})

C.

(0, \frac{1}{3})

D.

(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3})

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25. 设函数

f (x) = x + e^{x}, g (x) = x + \ln x

, 若存在

x_{1}, x_{2}

, 使得

f (x_{1}) = g (x_{2})

, 则

| x_{1} - x_{2} |

的最小值为

A.

\frac{1}{e}

B.

C.

D.

e

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26. 设函数

y = f (x)

在

x = x_{0}

处可导, 且

lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + 2 Δ x) - f (x_{0})}{3 Δ x} = 1

, 则

f^{'} (x_{0}) =

A.

\frac{2}{3}

B.

\frac{3}{2}

C.

D.

-1

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27. 【导数第 7 课时反馈 4】已知

x^{2} - y^{2} < e^{x} - e^{- y}

, 则

A.

\ln (x + y + 1) < 0

B.

(x + y)^{2} + 1 < e^{x + y}

C.

x + y < - \sin x - \sin y

D.

\cos x - \cos y > y^{2} - x^{2}

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28. 已知

lim_{Δ x \to 0} \frac{f (3 + Δ x) - f (3 - Δ x)}{Δ x} = 2

, 则

f^{'} (3) =

A.

-1

B.

C.

D.

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二、多选题（共 12 题），每题有多个选项正确

29. 已知实数

a, b

满足

a e^{a} = b \ln b = 3

, 则

A.

a = \ln b

B.

a b = e

C.

b - a < e - 1

D.

e + 1 < a + b < 4

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30. 对数的发明是数学史上的重大事件. 我们知道, 任何一个正实数

N

可以表示成

N = a \times 10^{n} (1 \leq a < 10, n \in Z)

的形式, 两边取常用对数, 则有

\lg N = n + \lg a

, 现给出部分常用对数值 (如下表), 下列结论正确的是

A.

5^{10}

在区间

(10^{6}, 10^{7})

内

B.

3^{50}

是 15 位数

C.

若

7^{- 50} = a \times 10^{m}

, 则

m = - 43

D.

若

m^{30} (m \in N^{*})

是一个 35 位正整数, 则

m = 14

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31. 噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量噪声的强度，定义声压级

L_{p} = 20 \times \lg \frac{p}{p_{0}}

, 其中常数

p_{0} (p_{0} > 0)

是听觉下限阈值,

p

是实际声压. 下表为不同声源的声压级：

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为

p_{1}

p_{2}

p_{3}

,则（　　）

A.

p_{1} \geq p_{2}

B.

p_{2} > 10 p_{3}

C.

p_{3} = 100 p_{0}

D.

p_{1} \leq 100 p_{2}

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32. 已知函数

f (x) = (x - 1)^{3} - a x - b + 1

, 则下列结论正确的是

A.

当

a = 3

时, 若

f (x)

有三个零点, 则

b

的取值范围为

(- 4, 0)

B.

若

f (x)

满足

f (2 - x) = 3 - f (x)

, 则

a + b = - 1

C.

若过点

(2, m)

可作出曲线

g (x) = f (x) - 3 x + a x + b

的三条切线, 则

- 5 < m < - 4

D.

若

f (x)

存在极值点

x_{0}

, 且

f (x_{0}) = f (x_{1})

, 其中

x_{0} \neq x_{1}

, 则

x_{1} + 2 x_{0} = 3

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33. 已知函数

f (x) = (2 x - x^{2}) e^{x}

, 则

A.

f (x)

有两个极值点

B.

f (x)

在

(0, 2)

上单调递增

C.

\exists m \in R, f (x) < m

恒成立

D.

方程

f (x) - 2 x = 0

有 2 个实数根

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34. 已知函数

f (x) = a (e^{x} + a) - x

, 则下列结论正确的有

A.

当

a = 1

时,方程

f (x) = 0

存在实数根

B.

当

a ⩽ 0

时,函数

f (x)

在

R

上单调递减

C.

当

a \times 0

时,函数

f (x)

有最小值，且最小值在

x = \ln a

处取得

D.

当

a > 0

时，不等式

f (x) > 2 \ln a + \frac{3}{2}

恒成立

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35. 定义数列

{a_{n}}, a_{1} = 1, e^{a_{n + 1}} a_{n} = e^{a_{n}} - 1

, 则下列说法正确的是

A.

{a_{n}}

是单调递减数列

B.

a_{n + 1} > \frac{1}{2} a_{n}

C.

a_{2 n + 1} + a_{2 n - 1} < 2 a_{2 n}

D.

a_{n} \geq {(\frac{1}{2})}^{n - 1}

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36. 已知函数

f (x) = x^{3} - 3 a x + 2

有两个极值点，则

A.

f (x)

的图象关于点

(0, 2)

对称

B.

f (x)

的极值之和为

- 4

C.

\exists a \in R

,使得

f (x)

有三个零点

D.

当

0 < a < 1

时，

f (x)

只有一个零点

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37. 已知函数

f (x)

及其导函数

f^{'} (x)

的定义域均为

R

, 若

f (x)

是奇函数,

f (2) = - f (1) \neq 0

, 且对任意

x, y \in R, f (x + y) = f (x) f^{'} (y) + f^{'} (x) f (y)

, 则

A.

f^{'} (1) = \frac{1}{2}

B.

f (9) = 0

C.

\sum_{k = 1}^{20} f (k) = 1

D.

\sum_{k = 1}^{20} f^{'} (k) = - 1

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38. 已知定义在

(0, + \infty)

的函数

f (x)

满足: (1)对

\forall x \in (0, + \infty)

恒有

x f^{'} (x) - f (x) = x

; (2)对任意的正数

m, n

恒有

f (m n) = n f (m) + m f (n) + m n

. 则下列结论中正确的有

A.

f (1) = - 1

B.

过点

(e, f (e))

的切线方程

y = x - 1

C.

对

\forall x \in (0, + \infty)

, 不等式

f (x) \geq x - e

恒成立

D.

若

x_{0}

为函数

y = f (x) + x^{2}

的极值点, 则

f (x_{0}) + 3 x_{0} > 0

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39. 下列选项正确的是

A.

y = \ln 2

, 则

y^{'} = \frac{1}{2}

B.

f (x) = \frac{1}{x^{2}}

, 则

f^{'} (3) = - \frac{2}{27}

C.

{(x^{3} e^{x})}^{'} = 3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x}

D.

{(\frac{2 \sin x}{x^{2}})}^{'} = \frac{2 \cos x}{2 x}

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40. 已知函数

f (x)

满足

x f^{'} (x) + f (x) = \ln x + 1, f (1) = 2

, 则当

x

> 0

时,下列说法正确的是

A.

f (2) = \ln 2 + 1

B.

x = 2

是函数

f (x)

的极大值点

C.

函数

y = f (x) - x

有且只有一个零点

D.

存在正实数

k

, 使得

f (x) > k x

恒成立

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