一、单选题 （共 28 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设点 $P$ 在曲线 $y=\frac{1}{2} e^{x}$ 上, 点 $Q$ 在曲线 $y=\ln (2 x)$ 上, 则 $|P Q|$ 最小 值为 ( )
$\text{A.}$ $1-\ln 2$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}(1-\ln 2)$
$\text{C.}$ $1+\ln 2$
$\text{D.}$ $\sqrt{2}(1+\ln 2)$
我国航天技术的迅猛发展与先进的运载火箭技术密不可分.据了解, 在不考虑空气阻力和地球引力的理 想状态下, 可以用公式 $v=v_0 \ln \frac{M}{m}$ 计算火箭的最大速度 $v(\mathrm{~m} / \mathrm{s})$, 其中 $v_0(\mathrm{~m} / \mathrm{s})$ 是喷流相对速度, $m(\mathrm{~kg})$ 是 火箭 (除推进剂外) 的质量, $M(\mathrm{~kg})$ 是推进剂与火箭质量的总和, $\frac{M}{m}$ 称为“总质比”. 已知甲型火箭的总 质比为 400 , 经过材料更新和技术改进后, 甲型火箭的总质比变为原来的 $\frac{1}{8}$, 喷流相对速度提高了 $\frac{2}{3}$, 最 大速度增加了 $900(\mathrm{~m} / \mathrm{s})$, 则甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为 $(\quad)$. （参考数据: $\ln 2 \approx 0.7, \ln 5 \approx 1.6$ )
$\text{A.}$ $1200 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$
$\text{B.}$ $1500 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$
$\text{C.}$ $1800 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$
$\text{D.}$ $2100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$
若 $a=1.01^{0.5}, b=1.01^{0.6}, c=0.6^{0.5}$, 则 $a, b, c$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $c>a>b$
$\text{B.}$ $c>b>a$
$\text{C.}$ $a>b>c$
$\text{D.}$ $b>a>c$
下列函数中, 最小值为 2 的是
$\text{A.}$ $y=x+\frac{2}{x}$
$\text{B.}$ $y=\frac{x^2+3}{\sqrt{x^2+2}}$
$\text{C.}$ $y=\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}$
$\text{D.}$ $y=\sin x+\frac{1}{\sin x}\left(0 < x < \frac{\pi}{2}\right)$
已知实数 $a, b$ 满足等式 $\left(\frac{1}{2}\right)^a=\left(\frac{1}{3}\right)^b$, 则下列不可能成立的有
$\text{A.}$ $a=b$
$\text{B.}$ $0>b>a$
$\text{C.}$ $b>a>0$
$\text{D.}$ $0>a>b$
某企业在生产中为倡导绿色环保的理念, 购人污水过滤系统对污水进行过滤处理, 已知 在过滤过程中污水中的剩余污染物数量 $N(\mathrm{mg} / \mathrm{L})$ 与时间 $t(\mathrm{~h})$ 的关系为 $N=N_0 e^{-k t}$, 其 中 $N_0$ 为初始污染物的数量, $k$ 为常数. 若在某次过滤过程中, 前 2 个小时过滤掉了污染 物的 $30 \%$, 则可计算前 6 小时共能过滤掉污染物的
$\text{A.}$ $49 \%$
$\text{B.}$ $51 \%$
$\text{C.}$ $65.7 \%$
$\text{D.}$ $72.9 \%$
$C_0$表示生物体内碳14的初始质量,经过$t$年后碳14剩余质量$C(t)=C_{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{h}}\left(t>0, h\right.$ 为碳 14 的半衰期). 现测得一古墓内某生物体内碳 14 含量为 $0.4 C_{0}$, 据此推算该生物是距今多少年前的生物 (参考数据: $\lg 2 \approx 0.301$ ). 正确选项是（ ）
$\text{A.}$ 1.36h
$\text{B.}$ 1.34h
$\text{C.}$ 1.32h
$\text{D.}$ 1.30h
设函数 $f(x)=\sqrt{3} \cos \omega x+\sin \omega x$, 且函数 $g(x)=[f(x)]^2-4$ 在 $x \in[0,5 \pi]$ 恰好有 5 个零点,则正实数 $\omega$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left[\frac{13}{15}, \frac{16}{15}\right)$
$\text{B.}$ $\left[\frac{5}{6}, \frac{31}{30}\right)$
$\text{C.}$ $\left[\frac{11}{15}, \frac{14}{15}\right)$
$\text{D.}$ $\left[\frac{23}{30}, \frac{29}{30}\right)$
下列方程中不能用二分法求近似解的为
$\text{A.}$ $\ln x+x=0$
$\text{B.}$ $\mathrm{e}^x-3 x=0$
$\text{C.}$ $x^3-3 x+1=0$
$\text{D.}$ $4 x^2-4 \sqrt{5} x+5=0$
已知函数 $f(x)=x^2-2 x+a\left(e^{x-1}+\mathrm{e}^{-x+1}\right)+\cos (x-1)-1$ 有唯一零点, 则 $a=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
$f(x)=2 e^x-5 x^2$ 的零点的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x-1}-\mathrm{e}^{1-x}+x^3-3 x^2+3 x$, 若实数 $x, y$ 满足 $f\left(x^2\right)+f\left(2 y^2-1\right)=2$, 则 $x \sqrt{1+y^2}$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$
设实数 $t>0$, 若 $t \mathrm{e}^{2 t x}-\ln 2 x \geqslant 0$ 对 $x>0$ 恒成立, 则 $t$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $\left[\frac{1}{2 \mathrm{e}},+\infty\right)$
$\text{B.}$ $\left[\frac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right]$
$\text{D.}$ $\left(0, \frac{1}{2 \mathrm{e}}\right]$
若函数 $f(x)=\ln \left(x^2-a x\right)$ 在区间 $(2,5)$ 上单调递增, 则实数 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(-\infty, 5]$
$\text{B.}$ $(-\infty, 2)$
$\text{C.}$ $(-\infty, 2]$
$\text{D.}$ $[5,+\infty)$
函数 $f(x)=\log _3 x+x-5$ 的零点所在的区间为
$\text{A.}$ $(2,3)$
$\text{B.}$ $(3,4)$
$\text{C.}$ $(4,5)$
$\text{D.}$ $(5,6)$
若存在 $a \in \mathbf{R}$, 使得对于任意 $x \in\left[\frac{1}{\mathrm{e}}, \mathrm{e}\right]$, 不等式 $\ln x \leq a x^2+b x \leq\left(\mathrm{e}^2-2 \mathrm{e}\right) \ln x+\mathrm{e}$ 恒成立, 则实数 $b$ 的最小值为
$\text{A.}$ $-\frac{\mathrm{e}^3+\mathrm{e}+1}{\mathrm{e}^2-1}$
$\text{B.}$ $-\frac{\mathrm{e}^2+\mathrm{e}}{\mathrm{e}^2-1}$
$\text{C.}$ $-1$
$\text{D.}$ $-\mathrm{e}$
曲线 $f(x)=\mathrm{e}^x+a x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与直线 $y=2 x$ 平行, 则 $a=$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
函数 $f(x)=2^x+x^3-9$ 的零点所在区间为
$\text{A.}$ $(0,1)$
$\text{B.}$ $(1,2)$
$\text{C.}$ $(2,3)$
$\text{D.}$ $(3,4)$
将函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}x e^x, x \leq 0 \\ \ln x-x+1, x>0\end{array}\right.$ 向下平移 $m(m \in R)$ 个单位长度得到 $g(x)$. 若 $g(x)$ 有两个零点 $x_1, x_2\left(x_1 < x_2\right)$, 则 $x_1+x_2$ 的值不可能是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $e^2-\frac{1}{e}$
$\text{C.}$ $e^{-\frac{1}{e}}+1$
$\text{D.}$ $e^{-\frac{1}{e}}-1$
设 $x>0$, 函数 $y=x^2+x-7, y=2^x+x-7, y=\log _2 x+x-7$ 的零点分别为 $a, b, c$, 则
$\text{A.}$ $a < b < c$
$\text{B.}$ $b < a < c$
$\text{C.}$ $a < c < b$
$\text{D.}$ $c < a < b$
设 $x_1, x_2$ 是函数 $f(x)=x^3+a x^2+x+1$ 的两个极值点, 若 $x_1+3 x_2=-2$, 则 $a=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
已知 $f(x)=a \mathrm{e}^{x-1}-\ln x+\ln a, g(x)=(1-\mathrm{e}) x$, 当 $x>0$ 时, $\mathrm{e} f(x) \geq g(x)$, 则 $a$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $\left(\frac{1}{e}, 1\right)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{1}{e},+\infty\right)$
$\text{C.}$ $(1,+\infty)$
$\text{D.}$ $(e,+\infty)$
设函数 $f(x)=x^2-\frac{1}{2}, f^{\prime}(x)$ 是 $f(x)$ 的导数, 则函数 $g(x)=f^{\prime}$ ( $x) \cos x$ 的部分图象可以为
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2+4 x+2, x \leqslant 0 \\ \frac{e \ln x}{x}, x>0\end{array}\right.$, 若函数 $g(x)=f(x)-$ $3 m$ 有 4 个不同的零点, 则 $m$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{2}{3}\right)$
$\text{B.}$ $\left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{1}{3}\right)$
$\text{D.}$ $\left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$
设函数 $f(x)=x+\mathrm{e}^x, g(x)=x+\ln x$, 若存在 $x_1, x_2$, 使得 $f\left(x_1\right)=g\left(x_2\right)$, 则 $\left|x_1-x_2\right|$的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{\mathrm{e}}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\mathrm{e}$
设函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导, 且 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+2 \Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{3 \Delta x}=1$, 则 $f^{\prime}\left(x_0\right)=$
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -1
【导数第 7 课时反馈 4】已知 $x^2-y^2 < \mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-y}$, 则
$\text{A.}$ $\ln (x+y+1) < 0$
$\text{B.}$ $(x+y)^2+1 < \mathrm{e}^{x+y}$
$\text{C.}$ $x+y < -\sin x-\sin y$
$\text{D.}$ $\cos x-\cos y>y^2-x^2$
已知 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(3+\Delta x)-f(3-\Delta x)}{\Delta x}=2$, 则 $f^{\prime}(3)=$
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 4
二、多选题 （共 14 题，每小题 5 分，共 20 分, 每题有多个选项符合要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分）
已知实数 $a, b$ 满足 $a \mathrm{e}^a=b \ln b=3$, 则
$\text{A.}$ $a=\ln b$
$\text{B.}$ $a b=\mathrm{e}$
$\text{C.}$ $b-a < \mathrm{e}-1$
$\text{D.}$ $\mathrm{e}+1 < a+b < 4$
对数的发明是数学史上的重大事件. 我们知道, 任何一个正实数 $N$ 可以表示成 $N=a \times 10^n(1 \leq a < 10, n \in \mathbf{Z})$ 的形式, 两边取常用对数, 则有 $\lg N=n+\lg a$, 现给出部分常 用对数值 (如下表), 下列结论正确的是
$\text{A.}$ $5^{10}$ 在区间 $\left(10^6, 10^7\right)$ 内
$\text{B.}$ $3^{50}$ 是 15 位数
$\text{C.}$ 若 $7^{-50}=a \times 10^m$, 则 $m=-43$
$\text{D.}$ 若 $m^{30}\left(m \in N^*\right)$ 是一个 35 位正整数, 则 $m=14$
噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量噪声的强度，定义声压级 $L_{p}=20 \times \lg \frac{p}{p_{0}}$, 其中常数 $p_{0}\left(p_{0}>0\right)$ 是听觉下限阈值, $p$ 是实际声压. 下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为$p_1$,$p_2$,$p_3$,则 （ ）
$\text{A.}$ $p_1\ge p_2$
$\text{B.}$ $p_2>10p_3$
$\text{C.}$ $p_3=100p_0$
$\text{D.}$ $p_1\le100p_2$
已知函数 $f(x)=(x-1)^3-a x-b+1$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 当 $a=3$ 时, 若 $f(x)$ 有三个零点, 则 $b$ 的取值范围为 $(-4,0)$
$\text{B.}$ 若 $f(x)$ 满足 $f(2-x)=3-f(x)$, 则 $a+b=-1$
$\text{C.}$ 若过点 $(2, m)$ 可作出曲线 $g(x)=f(x)-3 x+a x+b$ 的三条切线, 则 $-5 < m < -4$
$\text{D.}$ 若 $f(x)$ 存在极值点 $x_0$, 且 $f\left(x_0\right)=f\left(x_1\right)$, 其中 $x_0 \neq x_1$, 则 $x_1+2 x_0=3$
已知函数 $f(x)=\left(2 x-x^2\right) e^x$, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 有两个极值点
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $(0,2)$ 上单调递增
$\text{C.}$ $\exists m \in R, f(x) < m$ 恒成立
$\text{D.}$ 方程 $f(x)-2 x=0$ 有 2 个实数根
已知函数 $f(x)=a\left(\mathrm{e}^x+a\right)-x$, 则下列结论正确的有
$\text{A.}$ 当 $a=1$ 时,方程 $f(x)=0$ 存在实数根
$\text{B.}$ 当 $a \leqslant 0$ 时,函数 $f(x)$ 在 $\mathrm{R}$ 上单调递减
$\text{C.}$ 当 $a \times 0$ 时,函数 $f(x)$ 有最小值，且最小值在 $x=\ln a$ 处取得
$\text{D.}$ 当 $a>0$ 时，不等式 $f(x)>2 \ln a+\frac{3}{2}$ 恒成立
定义数列 $\left\{a_n\right\}, a_1=1, \mathrm{e}^{a_{n+1}} a_n=\mathrm{e}^{a_n}-1$, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $\left\{a_n\right\}$ 是单调递减数列
$\text{B.}$ $a_{n+1}>\frac{1}{2} a_n$
$\text{C.}$ $a_{2 n+1}+a_{2 n-1} < 2 a_{2 n}$
$\text{D.}$ $a_n \geq\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$
已知函数$f(x)=x^3-3ax+2$有两个极值点，则
$\text{A.}$ $f(x)$的图象关于点$(0,2)$对称
$\text{B.}$ $f(x)$的极值之和为$-4$
$\text{C.}$ $\exists a\in\mathbf{R}$,使得$f(x)$有三个零点
$\text{D.}$ 当$0 < a < 1$时，$f(x)$只有一个零点
已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $\mathrm{R}$, 若 $f(x)$ 是奇函数, $f(2)=-f(1) \neq 0$, 且对任意 $x, y \in \mathrm{R}, f(x+y)=f(x) f^{\prime}(y)+f^{\prime}(x) f(y)$, 则
$\text{A.}$ $f^{\prime}(1)=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $f(9)=0$
$\text{C.}$ $\sum_{k=1}^{20} f(k)=1$
$\text{D.}$ $\sum_{k=1}^{20} f^{\prime}(k)=-1$
已知定义在 $(0,+\infty)$ 的函数 $f(x)$ 满足: (1)对 $\forall x \in(0,+\infty)$ 恒有 $x f^{\prime}(x)-f(x)=x$; (2)对任意的正数 $m, n$ 恒有 $f(m n)=n f(m)+m f(n)+m n$. 则下列结论中正确的有
$\text{A.}$ $f(1)=-1$
$\text{B.}$ 过点 $(\mathrm{e}, f(\mathrm{e}))$ 的切线方程 $y=x-1$
$\text{C.}$ 对 $\forall x \in(0,+\infty)$, 不等式 $f(x) \geq x-\mathrm{e}$ 恒成立
$\text{D.}$ 若 $x_0$ 为函数 $y=f(x)+x^2$ 的极值点, 则 $f\left(x_0\right)+3 x_0>0$
下列选项正确的是
$\text{A.}$ $y=\ln 2$, 则 $y^{\prime}=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $f(x)=\frac{1}{x^2}$, 则 $f^{\prime}(3)=-\frac{2}{27}$
$\text{C.}$ $\left(x^3 \mathrm{e}^x\right)^{\prime}=3 x^2 \mathrm{e}^x+x^3 \mathrm{e}^x$
$\text{D.}$ $\left(\frac{2 \sin x}{x^2}\right)^{\prime}=\frac{2 \cos x}{2 x}$
已知函数 $f(x)$ 满足 $x f^{\prime}(x)+f(x)=\ln x+1, f(1)=2$, 则当 $x$ $>0$ 时,下列说法正确的是
$\text{A.}$ $f(2)=\ln 2+1$
$\text{B.}$ $x = 2$ 是函数$ f(x)$ 的极大值点
$\text{C.}$ 函数$y = f(x) - x $有且只有一个零点
$\text{D.}$ 存在正实数 $k$, 使得 $f(x)>k x$ 恒成立