定义数列 $\left\{a_n\right\}, a_1=1, \mathrm{e}^{a_{n+1}} a_n=\mathrm{e}^{a_n}-1$, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $\left\{a_n\right\}$ 是单调递减数列
$\text{B.}$ $a_{n+1}>\frac{1}{2} a_n$
$\text{C.}$ $a_{2 n+1}+a_{2 n-1} < 2 a_{2 n}$
$\text{D.}$ $a_n \geq\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$