设函数 $f(x)=\sqrt{3} \cos \omega x+\sin \omega x$, 且函数 $g(x)=[f(x)]^2-4$ 在 $x \in[0,5 \pi]$ 恰好有 5 个零点,则正实数 $\omega$ 的取值范围是
A. $\left[\frac{13}{15}, \frac{16}{15}\right)$
B. $\left[\frac{5}{6}, \frac{31}{30}\right)$
C. $\left[\frac{11}{15}, \frac{14}{15}\right)$
D. $\left[\frac{23}{30}, \frac{29}{30}\right)$