已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $\mathrm{R}$, 若 $f(x)$ 是奇函数, $f(2)=-f(1) \neq 0$, 且对任意 $x, y \in \mathrm{R}, f(x+y)=f(x) f^{\prime}(y)+f^{\prime}(x) f(y)$, 则
A. $f^{\prime}(1)=\frac{1}{2}$
B. $f(9)=0$
C. $\sum_{k=1}^{20} f(k)=1$
D. $\sum_{k=1}^{20} f^{\prime}(k)=-1$