已知定义在 $(0,+\infty)$ 的函数 $f(x)$ 满足: (1)对 $\forall x \in(0,+\infty)$ 恒有 $x f^{\prime}(x)-f(x)=x$; (2)对任意的正数 $m, n$ 恒有 $f(m n)=n f(m)+m f(n)+m n$. 则下列结论中正确的有
A. $f(1)=-1$
B. 过点 $(\mathrm{e}, f(\mathrm{e}))$ 的切线方程 $y=x-1$
C. 对 $\forall x \in(0,+\infty)$, 不等式 $f(x) \geq x-\mathrm{e}$ 恒成立
D. 若 $x_0$ 为函数 $y=f(x)+x^2$ 的极值点, 则 $f\left(x_0\right)+3 x_0>0$