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试卷8

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 已知集合

A = {x + 1, x + 2, \dots, x + n}

, 其中

x, n \in N, n ⩾ 6

, 非空集合满足

B \cup C = A, B \cap C = \emptyset

, 记

X_{Z}

为集合

Z

中所有元素的乘积,

Y_{Z}

为集合

Z

中所有元素的最小公倍数,则

A.

存在无穷个

n

, 使得

Y_{B} + Y_{C} = 2^{2024}

B.

存在

n

, 使得

Y_{B} + Y_{C} = 2^{2023}

C.

若

n = 6

, 存在 1 个

x \in N

, 使得

X_{B} = X_{C}

D.

若

n = 6

, 有无穷多个

x \in N

, 使得

X_{B} = X_{C}

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2. 已知集合

A = {x ∣ x^{2} - 3 x < 0}

, 集合

B = {x ∣ \log_{3} (x - 1) < 1}

, 则

A \cap B =

A.

{x ∣ 0 < x < 3}

B.

{x ∣ 1 < x < 3}

C.

{x ∣ 0 < x < 4}

D.

{x ∣ 1 < x < 4}

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3. 记数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 则 “

S_{3} = 3 a_{2}

" 是 “

{a_{n}}

为等差数列” 的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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4. 已知直线

l : y = k x

与圆

C : (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 1

, 则 “

0 < k < \frac{\sqrt{3}}{3}

”是“直线

l

与圆

C

相交”的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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5. 已知集合

U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 3}, B = {1, 2, 4}

, 则

C_{U} B \cup A =

A.

{1, 3, 5}

B.

{1, 3}

C.

{1, 2, 4}

D.

{1, 2, 4, 5}

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6. “

a^{2} = b^{2}

" 是“

a^{2} + b^{2} = 2 a b

”的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充分必要条件

D.

既不充分又不必要条件

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7. 设全集

U = {1, 2, 3, 4, 5}

, 集合

M

满足

∁_{U} M = {1, 3}

, 则

A.

2 \in M

B.

3 \in M

C.

4 \notin M

D.

5 \notin M

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8. 设集合

A = {x \in N^{*} ∣ 2^{x} < 4}, B = {x \in N ∣ - 1 < x < 2}

, 则

A \cup B =

A.

{x ∣ - 1 < x < 2}

B.

{x ∣ x < 2}

C.

{0, 1}

D.

{1}

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9. 已知

{a_{n}}

是公差为 3 的等差数列, 其前

n

项的和为

S_{n}

, 设甲:

{a_{n}}

的首项为零; 乙:

S_{2} + 3

是

S_{1} + 3

和

S_{3} +

3 的等比中项, 则

A.

甲是乙的充分不必要条件

B.

甲是乙的必要不充分条件

C.

甲是乙的充要条件

D.

甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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10. 已知集合

A = {x ∣ 0 ⩽ x ⩽ 3}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

, 则

(∁_{R} A) \cap B =

A.

{4, 5}

B.

{0, 4, 5}

C.

{3, 4, 5}

D.

{0, 3, 4, 5}

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11. 命题“

\exists x_{0} > 0, - x_{0}^{2} + 2 x_{0} - 1 > 0

” 的否定为

A.

\exists x_{0} > 0, - x_{0}^{2} + 2 x_{0} - 1 ⩽ 0

B.

\exists x_{0} ⩽ 0, - x_{0}^{2} + 2 x_{0} - 1 > 0

C.

\forall x > 0, - x^{2} + 2 x - 1 ⩽ 0

D.

\forall x < 0, - x^{2} + 2 x - 1 > 0

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12. 集合

A = {x ∣ x < - 1

或

x \geq 3}, B = {x ∣ a x + 1 \leq 0}

, 若

B \subseteq A

, 则实数

a

的取值范围是

A.

[- \frac{1}{3}, 1)

B.

(- \infty, - 1) U [0, + \infty)

C.

[- \frac{1}{3}, 1]

D.

[- \frac{1}{3}, 0) U (0, 1)

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13. 设数集

M

同时满足条件:(1)

M

中不含元素-1, 0, 1；(2)若

a \in M

, 则

\frac{1 + a}{1 - a} \in M

. 则下列结论正确的是

A.

集合

M

中至多有 2 个元素

B.

集合

M

中至多有 3 个元素

C.

集合

M

中至少有 4 个元素

D.

集合

M

中有无穷多个元素

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14. 已知集合

A = {x ∣ 2 x - 9 < 0}, B = {x ∣ y = \frac{\ln (x - 1)}{x - 3}}

, 则

A

B =

A.

(1, 3) U (3, \frac{9}{2})

B.

[1, 3) U (3, \frac{9}{2})

C.

(1, \frac{9}{2})

D.

[1, \frac{9}{2})

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15. 已知集合

A = {x ∣ x = \frac{1}{3} (2 n + 1), n \in Z}, B = {x ∣ x = \frac{4}{3} n - 1, n \in Z}

, 则

A.

A

B = A

B.

A

B = \emptyset

C.

A U B = A

D.

A U B = Z

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16. 设全集

U = R, A = {x ∣ x \leq 1}, B = {x ∣ x^{2} - x - 2 < 0}

, 则图中阴影部分对应的集合为

A.

{x ∣ x \geq 1}

B.

{x ∣ 1 \leq x < 2}

C.

{x ∣ x > 1}

D.

{x ∣ 1 < x < 2}

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17. 下列命题中真命题有
(1)

p : \forall x \in R, x^{2} - x + \frac{1}{4} \geq 0

(2)

q

: “

a > 1, b > 1

”是“

a b > 1 ”

的充分不必要条件
(3)

r : \exists x \in R, x^{2} + 2 x + 2 \leq 0

(4)

s

: 若

a < 0

, 则

a + \frac{1}{a} \leq - 2

A.

1 个

B.

2 个

C.

3 个

D.

4个

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18. 已知实数

x, y

, 则 “

x^{2} + y^{2} \leq 2

” 是 “

x + y \leq 2 \sqrt{2}

” 的

A.

必要不充分条件

B.

充分不必要条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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19. 不等式

x (x - 2) < 0

成立的一个充分不必要条件是

A.

x \in (0, 2]

B.

x \in (0, 2)

C.

x \in (0, 1)

D.

x \in (- \infty, 0]

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20. 已知命题

p : \exists x \in R, \sin x < 1

; 命题

q : \forall x \in R, e^{| x |} \geq 1

, 则下列命题中为真命题的是

A.

p \land q

B.

\neg p \land q

C.

p \land \neg q

D.

\neg (p \lor q)

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21. 已知命题

p

: 对任意的

x, y, z \in N^{*}, x^{3} + y^{3} \neq z^{3}

, 则

A.

\neg p

: 对任意的

x, y, z \in N^{*}, x^{3} + y^{3} = z^{3}

B.

\neg p

: 存在

x_{0}, y_{0}, z_{0} \in N^{*}, x_{0}^{3} + y_{0}^{3} = z_{0}^{3}

C.

\neg p

: 存在

x_{0}, y_{0}, z_{0} \in N^{*}, x_{0}^{3} + y_{0}^{3} \neq z_{0}^{3}

D.

\neg p

: 不存在

x_{0}, y_{0}, z_{0} \in N^{*}, x_{0}^{3} + y_{0}^{3} = z_{0}^{3}

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22. 若命题

p : \exists x \in [- 3, 3], x^{2} + 2 x + 1 \leq 0

, 则命题

p

的否定是

A.

\forall x \in [- 3, 3], x^{2} + 2 x + 1 > 0

B.

\forall x \in (- \infty, - 3) U (3, + \infty), x^{2} + 2 x + 1 > 0

C.

\exists x \in (- \infty, - 3) U (3, + \infty), x^{2} + 2 x + 1 \leq 0

D.

\exists x \in [- 3, 3], x^{2} + 2 x + 1 < 0

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23. 命题“

\forall x > 0, x + \frac{1}{x} \geq 2

”的否定是

A.

\forall x \leq 0, x + \frac{1}{x} < 2

B.

\forall x \leq 0, x + \frac{1}{x} \geq 2

C.

\exists x > 0, x + \frac{1}{x} < 2

D.

\exists x > 0, x + \frac{1}{x} \geq 2

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24. 已知集合

A = {x ∣ - 1 < x ⩽ 2}, B = {- 1, 0, 1, 2}

, 则

A \cap B =

A.

{- 1, 0, 1}

B.

{- 1, 0}

C.

{0, 1}

D.

{0, 1, 2}

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25. . 已知集合

A = {1, 2, 4}

, 集合

B = {a, a + 2}

, 若

A \cap B = B

, 则

a =

A.

B.

\frac{1}{2}

C.

D.

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26. 命题:

p : \forall x \in R, x + | x | \geq 0

的否定为

A.

\exists x \in R, x + | x | \geq 0

B.

\exists x \in R, x + | x | \leq 0

C.

\exists x \in R, x + | x | < 0

D.

\forall x \in R, x + | x | < 0

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27. 设

a, b

为实数, 则“

a < b < 0

”是

= \frac{1}{a} < \frac{1}{b}

”的

A.

充分而不必要条件

B.

必要而不充分条件

C.

充分必要条件

D.

既不充分也不必要条件

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28. 已知函数

f (x)

定义域为

R, f (x + 1)

是奇函数,

g (x) = (1 - x) f (x)

, 函数

g (x)

在

[1, + \infty)

上递增, 则下列命题为真命题的是

A.

f (- x - 1) = - f (x + 1)

B.

函数

g (x)

在

(- \infty, 1]

上递减

C.

若

a < 2 - b < 1

, 则

g (1) < g (b) < g (a)

D.

若

g (a) > g (a + 1)

, 则

a < \frac{1}{2}

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29. 已知集合

A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 8 < 0}, B = {- 2, - 1, 0, 1, 2}

, 则

A \cap B =

A.

{- 2, - 1, 0, 1, 2}

B.

{- 1, 0, 1, 2}

C.

{- 1, 0, 1}

D.

{- 2, - 1, 0, 1}

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30. 设集合

A = {x ∣ x^{2} - 3 x + 2 > 0}, B = {x ∣ \frac{1}{x + 1} ⩾ 1}

, 则

A \cap (C_{R} B) =

A.

(0, 1) \cup (2, + \infty)

B.

(- \infty, - 1] \cup (2, + \infty)

C.

(- \infty, - 1) \cup (0, 1) \cup (2, + \infty)

D.

(- \infty, - 1] \cup (0, 1) \cup (2, + \infty)

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31. 已知集合

A = {x \in N^{*} ∣ y = \sqrt{4 - x^{2}}}

, 集合

B = {x ∣ x^{2} - x \geq 0}

, 则

A \cap B =

A.

{x ∣ 1 \leq x \leq 2}

B.

{x ∣ 0 \leq x \leq 1}

C.

{0, 1, 2}

D.

{1, 2}

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32. “函数

f (x) = x^{a}

在

(0, + \infty)

上单调递减” 是 “函数

g (x) = x^{4} - (a + 1) x

是偶函数” 的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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33. 若集合

M = {x ∣ 2 x - 3 > 0}, N = {1, 2, 3, 4}

, 则

M \cap N =

A.

{1, 2}

B.

{3, 4}

C.

{x ∣ 1 < x < 5, x \in N^{*}}

D.

{x ∣ 1 ⩽ x ⩽ 4, x \in N^{*}}

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34.

\tan (- 420 °)

的值为（　　）

A.

- \frac{\sqrt{3}}{3}

B.

\frac{\sqrt{3}}{3}

C.

- \sqrt{3}

D.

\sqrt{3}

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35. 命题:

\exists x_{0} > 0, x_{0}^{2} - x_{0} - 1 ⩽ 0

的否定是

A.

\exists x_{0} ⩽ 0, x_{0}^{2} - x_{0} - 1 > 0

B.

\forall x ⩽ 0, x^{2} - x - 1 > 0

C.

\exists x_{0} > 0, x_{0}^{2} - x_{0} - 1 < 0

D.

\forall x > 0, x^{2} - x - 1 > 0

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36. 已知全集

U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}

, 则

∁_{U} (A \cup B) =

A.

U

B.

{1, 2, 4, 5}

C.

{3}

D.

\emptyset

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37. "

\cos θ = 0

" 是 “函数

f (x) = \sin (x + θ) + \cos x

为偶函数” 的

A.

充分而不必要条件

B.

必要而不充分条件

C.

充分必要条件

D.

既不充分也不必要条件

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38. 全集

U = R

, 集合

A = {2, 3, 5, 7, 9}, B = {4, 5, 6, 8}

, 则阴影部分表示的集合是

A.

{2, 3, 5, 7, 9}

B.

{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

C.

{4, 6, 8}

D.

{5}

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39. 已知集合

M = {- 2, - 1, 0, 1, 2}, N = {x ∣ x^{2} - x - 6 \geq 0}

, 则

M \cap N =

A.

{- 2, - 1, 0, 1}

B.

{0, 1, 2}

C.

{- 2}

D.

2

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40. 记

S_{n}

为数列

{a_{n}}

的前

n

项和, 设甲:

{a_{n}}

为等差数列; 乙:

{\frac{S_{n}}{n}}

为等差数列, 则

A.

甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.

甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.

甲是乙的充要条件

D.

甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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