已知集合 $A=\{x+1, x+2, \ldots, x+n\}$, 其中 $x, n \in N, n \geqslant 6$, 非空集合满足 $B \cup C=A, B \cap C=\varnothing$, 记 $X_Z$ 为集合 $Z$ 中所有元素的乘积, $Y_Z$ 为集合 $Z$ 中所有元素的最小公倍数,则
$\text{A.}$ 存在无穷个 $n$, 使得 $Y_B+Y_C=2^{2024}$
$\text{B.}$ 存在 $n$, 使得 $Y_B+Y_C=2^{2023}$
$\text{C.}$ 若 $n=6$, 存在 1 个 $x \in N$, 使得 $X_B=X_C$
$\text{D.}$ 若 $n=6$, 有无穷多个 $x \in N$, 使得 $X_B=X_C$